Probar si $f(x)$ $g(x)$ es continuo, $f(x) + g(x)$ es también continua en el uso de la $\epsilon - \delta$ definición de los límites

Question

Dado que tanto $f(x)$ $g(x)$ es continua, entonces $$(\forall \epsilon_1 >0)(\exists \delta_1 >0) [\vert x-a\vert< \delta_1 \to \vert f(x)-f(a) \vert <\epsilon_1]$$$$(\forall \epsilon_2 >0)(\exists \delta_2 >0) [\vert x-a\vert< \delta_2 \a \vert g(x)-g(a) \vert <\epsilon_2]$$

He definido $h(x)=f(x)+g(x)$ y para un determinado $\epsilon>0$, puse ambos $\epsilon_1,\epsilon_2=\frac12\epsilon$.

Podría preguntarle ¿por qué hemos de establecer $\epsilon_1,\epsilon_2=\frac12\epsilon$? Me refiero a que podría también podemos establecer como $\epsilon_1=\frac14\epsilon$$\epsilon_2=\frac34\epsilon$?

Además, después de la configuración de este, ¿cómo se derivan $\delta=min\{\delta_1, \delta_2\}$, que se requiere para la prueba?

Answer 1

Sí, también se puede optar $\epsilon_1 = \frac{1}{4}\epsilon$$\epsilon_2 = \frac{3}{4}\epsilon$, ya que sólo hay $$ \lvert f(x) + g(x) - f(a) + g(a))\rvert \leq \lvert f(x) - f(a)\rvert + \lvert g(x) - g(a)\lvert $$ a menos de $\epsilon$. De hecho, usted necesidad justa de $\epsilon_1 + \epsilon_2 \leq \epsilon$.

Mediante la selección de $\delta$ el más pequeño de los dos deltas, usted garantiza que tanto $\lvert f(x) - f(a)\rvert < \epsilon_1$ e $\lvert g(x) - g(a)\lvert < \epsilon_2$.

Answer 2

Ok, a ver que $h(x)=f(x)+g(x)$ es continua se tiene que ver que dado $\epsilon_{0} >0$ existe $\delta>0$ tal que $|x-a|<\delta$ implica $|h(x)-h(a)|<\epsilon$. Ahora sabemos que

$$|h(x)-h(a)|=|f(x)+g(x)-f(a)+g(a)|\leq|f(x)-f(a)|+|g(x)-g(a)|$$

debido a la desigualdad de triángulo. Así que ya tenemos a nuestros determinado $\epsilon_{0}>0$ queremos encontrar el $\delta_{0}$. Así que ahora tenemos que considerar la posibilidad de $\epsilon_0/2$ (ahora en un minuto usted se por qué). Dado que tanto $f$ $g$ son continuos, no salir de un $\delta_1$ $\delta_2$ tal que

$$|x-a|<\delta_1 \implies |f(x)-f(a)|<\epsilon_0/2$$

y

$$|x-a|<\delta_2 \implies |g(x)-g(a)|<\epsilon_0/2$$

Así, si tomamos $\delta_0=min\{\delta_1,\delta_2\}$ cualquier momento $|x-a|<\delta_0$ tanto de los de arriba va a ser verdad. Pero si ambas son verdaderas, tenemos que

$$|h(x)-h(a)|\leq|f(x)-f(a)|+|g(x)-g(a)|<\epsilon_0/2+\epsilon_0/2 = \epsilon_0$$

Y la proposición se prueba.