Si $f_k \f$ a.e. y el $L^p$ normas convergen, entonces $f_k \f$ en $L^p$

Question

Vamos a $1\leq p < \infty$. Suponga que $\{f_k\} \subconjunto L^p$ (el dominio de aquí no tienen que ser necesariamente finito), $f_k \f$ en casi todas partes, y $\|f_k\|_{L^p} \\|f\|_{L^p}$. ¿Por qué se da el caso de que $$\|f_k - f\|_{L^p} \0\ ?$$

Una declaración en la otra dirección (es decir, $\|f_k - f\|_{L^p} \0 \Rightarrow \|f_k\|_{L^p} \\|f\|_{L^p}$ ) de la siguiente manera bastante sencilla y es la que he visto la mayoría del tiempo. Yo no soy cómo mostrar el resultado anterior aunque.

Answer 1

Este es un teorema por Riesz.

Observar que $$|f_k - f|^p \leq 2^p (|f_k|^p + |f|^p),$$

Ahora podemos aplicar Fatou del lema a $$2^p (|f_k|^p + |f|^p) - |f_k - f|^p \geq 0.$$

Si se mira bien se te aviso que esto implica que

$$\limsup_{k \to \infty} \int |f_k - f|^p \, d\mu = 0.$$

Por lo tanto se puede concluir de la misma para el límite normal.

Answer 2

Considerar $g_k = 2^p(|f_k|^p + |f|^p) - |f_k - f|^p$.

Desde $g_k \geq 0$ (por qué?), y $g_k \2^{p+1}|f|^p$ a.e., podemos aplicar Fatou el Lema: $$\int \liminf g_k \leq \liminf \int g_k$$ así que $$\int 2^{p+1}|f|^p \leq \liminf \left(\int 2^p |f_k|^p + \int 2^p |f|^p - \int |f_k - f|^p \right),$$ y voy a dejar de tomar de aquí.