Definición de convergencia en $C^\infty(\Omega)$

Question

Yo no estoy convencido o pueden no entender, la manera de definir la convergencia y, a continuación, topología como una consecuencia de la convergencia.

$\Omega$ está abierto subconjunto de $\Bbb R^n.$Definir el estándar de la topología en $\mathcal C^\infty(\Omega)$ a través de la siguiente noción de convergencia:

El que dice que una secuencia $h^k $, $h^k \in \mathcal C^\infty(\Omega)$ converge a $h$ $\mathcal C^\infty(\Omega)$ si $h^k$ converge a h de manera uniforme con todas las derivadas parciales de cualquier orden en cualquier subconjunto compacto de $\Omega$.

Me pregunto, ¿por qué definir la convergencia de tal manera y cómo da nacimiento a una topología?

[En la definición de arriba, están hablando acerca de la convergencia de la secuencia de la derivada de una función $h$ es decir ($h^1, h^2....\to h)$. Ahora, si queremos discutir la convergencia de cualquier secuencia aleatoria de funciones (es decir, una secuencia que no está hecho de la derivada de una función en particular), ¿cómo vamos a considerar que la secuencia y la convergencia....?]

A continuación, el escritor dice:

Si $K$ es un subconjunto compacto de $\Omega$, podemos utilizar el estándar de la norma i.e $||\mathcal u||_{C^k(K)}= \sum _{|\alpha|\le k} sup_{x\in K}|D^\alpha\mathcal u(x)|$

Aquí, tengo una pregunta básica: ¿por qué lo llaman de una norma estándar y por qué se consideran sólo que esta norma específica...??

Agradecería, si me puede dar unos minutos de su valioso tiempo. Muchas gracias.

Answer 1

Nota: estoy bastante seguro de que esto se hace muy bien en Rudin del Análisis Funcional. Pero yo no lo tengo conmigo, así que no puede apuntar a un preciso página.

En un espacio métrico $(X,d)$, la topología se caracteriza por secuencias convergentes y sus límites. De hecho, un conjunto $S$ es cerrado en $X$ si siempre $(s_n)$ $S$ converge a$x\in X$,$x\in S$. Se dice que un $X$ es un secuencial de espacio. Cada primer contables espacio es secuencial. Métrica espacios en particular.

Por lo que necesita una métrica en $C^\infty(\Omega)$ para que secuencias convergentes obedecer a la descripción anterior.

Una manera de hacerlo es utilizar la familia de seminorms $\|\cdot \|_{C^k(K)}$ donde $K$ es compacto en $\Omega$ (se han positivo de la homogeneidad y la desigualdad triangular, pero no la separación).

En realidad, sólo necesita countably muchos de ellos, y es por eso que la topología es metrizable. Escribir $\Omega=\bigcup_{n\geq 1}K_n$ $K_n$ una secuencia no decreciente de compactos de conjuntos (esto se llama un compacto de agotamiento). Usted puede definir, por ejemplo, la métrica $$ d(u,v):=\sum_{n\geq 1}\frac{\min \left(1,\|u-v\|_{C^n(K_n)}\right)}{2^n}. $$ Entonces usted tiene que comprobar que esto es de hecho una distancia (que es fácil) en $C^\infty(\Omega)$, y que (más tedioso) $d(u_n,u)\longrightarrow 0$ si y sólo si $u_n$ converge a $u$ uniformemente en cada conjunto compacto, junto con sus derivados.

Answer 2

Julien ha dado a la construcción de una topología. Permítanme darles algunos más motivación:

Me pregunto, ¿por qué definir la convergencia de tal manera y cómo da nacimiento a una topología?

Este es un modo muy natural de convergencia: Si usted tiene una secuencia de funciones diferenciables $h_n$ convergencia uniforme sobre compactos ajusta a una función de $h$ y los derivados convergen uniformemente demasiado, entonces usted sabe que desde el análisis clásico que $h$ es diferenciable y $h_n'$ converge a $h'$ uniformemente en compactos de conjuntos. Y se conocen ejemplos que todas estas suposiciones son necesarias para la función de límite de $h$ ser diferenciable. Así que, esencialmente, este tipo de convergencia se garantiza que la función de límite de nuevo $C^\infty$.

Aquí, tengo una pregunta básica: ¿por qué lo llaman de una norma estándar y por qué se consideran sólo que esta norma específica...??

Esto es más bien descuidado de la autora: $||u||C^k(K)$ es una norma en $C^k(K)$, pero sólo es una seminorm en $C^\infty$. Y la familia de seminorms $\{ ||.||_{C^k(K)}; K\subset \Omega \text{ compact }, k\in\mathbb{N}\}$ define de una manera natural un localmente convexo topología descrita aquí, de hecho el más áspero localmente convexo topología de tal manera que todos los seminorms son continuas. Y "por suerte", esta topología coincide con la topología descrita en la construcción de julien. Esta es la razón por la que estas (semi-)normas se denominan estándar.