Simplificando $\sum_{j=k}^{n}\binom{j}{k}/(2^{k-1})$

Question

Durante la realización de un ejercicio (calcular un valor esperado), me he encontrado con una expresión parecida a esta. Hay una fórmula más simple?

$$ \sum_{j=k}^{n}\frac{\binom{j}{k}}{2^{k-1}} $$

Si no fuera por el denominador, yo sabía que la solución.

Answer 1

Recordemos que

$$\sum_{j=0}^a\binom{j}{k} = \binom{a+1}{k+1}$$ Entonces: $$\sum_{j=k}^{n}\frac{\binom{j}{k}}{2^{k-1}} = \frac{1}{2^{k-1}}\left[\sum_{j=0}^n\binom{j}{k}-\sum_{j=0}^{k-1}\binom{j}{k}\right] = \frac{1}{2^{k-1}}\left[\binom{n+1}{k+1}-\binom{k}{k+1}\right] = $$

$$=\frac{1}{2^{k-1}}\binom{n+1}{k+1}$$

dado que el $$\binom{k}{k+1} = 0$$

Answer 2

$$\grande\begin{align} \sum_{j=k}^{n}\frac{\binom{j}{k}}{2^{k-1}} &=\frac 1{2^{k-1}}\sum_{j=k}^n \binom jk\\ &=\frac 1{2^{k-1}}\binom{n+1}{k+1}\qquad \blacksquare \end{align}$$

NB - la suma puede ser tomado de $j=k$ en lugar de la de $j=0$ porque $\binom jk=0$$j<k$.