Encuentra el área de un triángulo esférico formado por los puntos $(0, 0, 1)$, $(0, 1, 0)$ y $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})$.

Question

Calcula el área del triángulo esférico definido por los puntos $(0, 0, 1)$, $(0, 1, 0)$ y $(\dfrac{1}{\sqrt{2}}, 0, \dfrac{1}{\sqrt{2}})$.

He llegado a esto:

De la Fórmula Gauss-Bonnet esférica, donde $T$ es un triángulo con ángulos interiores $\alpha, \beta, \gamma$. Entonces el área del triángulo $T$ es $\alpha + \beta + \gamma - \pi$.

¿Cómo calculo los ángulos interiores para utilizar esta fórmula?

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Observación preliminar: (ver figura abajo) Es visible que el área del triángulo esférico $ABC$ es la mitad del área del triángulo esférico $ABD$, cuyo área es la octava parte del área de la esfera de radio $r=1$ (el triángulo $ABD$ es la parte de la esfera situada en el ortante positivo). Por lo tanto, el resultado final es:

$$\dfrac{1}{16}(4\pi r^2)=\dfrac{\pi}{4}.$$

Dado que el objetivo es utilizar la fórmula de Gauss-Bonnet, más precisamente el teorema de Girard (http://www.princeton.edu/~rvdb/WebGL/GirardThmProof.html), en lugar de usar fórmulas de trigonometría esférica bastante opacas, es más claro en mi opinión utilizar productos cruzados (dobles). Así es como:

Sea $\vec{A}=(0,0,1), \vec{B}=(0,1,0), \vec{C}=(a,0,a)$ con $a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.

todos ellos están en la esfera unitaria.

El producto cruzado $\vec{C_1}=\vec{A} \times \vec{B}=(-1,0,0)$ es un vector normal al plano $OAB$.

De la misma manera, el producto cruzado $\vec{A_1}=\vec{B} \times \vec{C}=(a,0,-a)$ es un vector normal al plano $OBC$.

Por lo tanto, el producto cruzado $\vec{C_1} \times \vec{A_1}$ es igual a $(0,-a,0)$ con una norma de $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ que es igual a $\|C_1\|\|A_1\|\sin(\pi-\beta)=1 * 1 * \sin(\beta)$.

Por lo tanto $\sin(\beta)=\dfrac{1}{\sqrt{2}$, entonces $\beta=\dfrac{\pi}{4}$.

Observación: de hecho, $\beta=3\dfrac{\pi}{4}$ está prohibido porque los puntos $A,B,C$ están situados en el ortante positivo. Si no hubiera sido posible hacer la eliminación de ambigüedad entre $\dfrac{\pi}{4}$ y $3\dfrac{\pi}{4}$, habríamos utilizado el valor de $\cos(\beta)$ obtenido usando el producto punto $\vec{C_1}.\vec{A_1}=\|C_1\|\|A_1\|\cos(\beta)$.

El mismo proceso puede ser utilizado para encontrar los ángulos $\alpha=\dfrac{\pi}{2}$ y $\gamma=\dfrac{\pi}{2}$ (ver figura), y luego utilizar la fórmula de Girard.

(esta figura fue creada con un programa de Matlab).

Answer 2

$A(0, 0, 1)$, $B(0, 1, 0)$ y $C(\dfrac{1}{\sqrt{2}}, 0, \dfrac{1}{\sqrt{2}})$ con $|A|=|B|=|C|=1$ estos puntos yacen en la esfera unitaria. Estos puntos especifican tres planos $x=0$, $y=0$ y $x=z$ entonces el ángulo entre ellos es $\dfrac{\pi}{2}$, $\dfrac{\pi}{2}$ y $\dfrac{\pi}{4}$, ya que sus vectores normales son $\vec{i}$, $\vec{j}$ y $\vec{i}-\vec{k}$, respectivamente (por $\cos\theta=\dfrac{u.v}{|u||v|}=u.v$).

Finalmente $\sigma=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}-\pi=\dfrac{\pi}{4}$.

Answer 3

Ver la implementación de Mathcad de la ecuación para encontrar el área cuando se dan tres coordenadas para una esfera centrada en (0,0,0)

Ver el artículo "On the Measure of Solid Angles" de Folke Eriksson.