Demostrar que $x^{2} \equiv -1$ (mod $p$) no tiene soluciones si el primer $p \equiv 3\pmod 4$.

Question

Asumir: $p$ es un alojamiento que satisfaga $p \equiv 3 \pmod 4$

Mostrar: $x^{2} \equiv -1 \pmod p$ no tiene soluciones $\forall x \in \mathbb{Z}$.

Sé que este problema tiene algo que ver con Fermat Poco Teorema, que $a^{p-1} \equiv 1\pmod p$. Traté de hacer una prueba por contradicción, asumiendo la conclusión y mostrando algunos contradicción, pero sólo se quedó en una pared. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Supongamos $x^2\equiv -1\pmod{p}$. A continuación,$x^4\equiv 1\pmod{p}$. Que Desde $p = 4k+3$, tenemos $$x^{p-1} = x^{4k+2} = x^2x^{4k} \equiv -1(x^4)^k\equiv -1\pmod{p},$$ lo que se contradice con Fermat Poco Teorema.

Answer 2

Sugerencia $\rm mod\ P\! = 4K\!+\!3\!:\;$ $\rm\ X^2 \equiv -1 \;\Rightarrow\; 1\equiv X^{P-1} \equiv (X^2)^{2K+1}\equiv (-1)^{2K+1} \equiv -1$

Alternativamente, nota: $\rm\ X^4\equiv 1\equiv X^{4K+2}\Rightarrow\: 1 \equiv X^{\:\!(4,4K+2)}\equiv X^2\equiv -1\:\Rightarrow\: P\:|\:2\: \Rightarrow\Leftarrow$

Por el contrario, y un grupo de teoría punto de vista, ver aquí.