Posibles valores propios de la matriz $C = A(B^TA)^{-1}B^T$

Question

También tenemos las condiciones que $A$ e $B$ son rectangulares matrices tales que $B^TA$ es de planta cuadrada y invertible.

Por lo tanto, podemos asumir que $A$ e $B$ tiene dimensiones de la $p \times n$ y, por tanto, $B^TA$ tiene dimensiones de la $n \times n$.

Así que lo que he hecho hasta ahora es que desde $$C \times C = A(B^TA)^{-1}B^TA(B^TA)^{-1}B^T = A(B^TA)^{-1}B^T = C$$

tenemos $$C^2 = C$$

Así que, por el hecho de que los valores propios son las raíces del polinomio característico, los posibles valores propios pueden ser $0$ o $1$.

Pero, ¿no hay un problema para el autovalor $0$ como si $Cx = 0$ para algunos no-vector cero $x$ luego multiplicando $B^T$ desde la izquierda (esto se puede hacer como $C$ tiene dimensiones de la $p \times p$ e $B^T$ tiene dimensiones de la $n \times p$) da $B^TCx = 0$ lo que significa que $$B^TA(B^TA)^{-1}B^Tx = 0 \implies B^TAy = 0$$ for some non-zero $y$, so this is contradicting that $B^TA$ es invertible.

Así que esto significa que sólo es posible autovalor es $1$?

O es posible que $y$ puede ser un vector cero así que no se puede concluir nada acerca de eso?

Edit: creo que $y$ puede ser el vector cero, porque en ese caso, sólo tenemos $B^Tx$ a cero como $B^TA$ es invertible. $B^Tx = 0$ es posible que un no-cero $x$, ¿no?

Answer 1

$B^T x=0$ es posible para un valor distinto de cero $x$. Un simple ejemplo viene de tomar $$A=B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

Esto cumple con todas las propiedades que desee y la matriz de $C$ tiene cero como un valor propio.

También tenga en cuenta que si $A$ e $B$ se $p \times n$ e $B^T A$ es invertible, entonces debemos tener $n \leq p$, desde el $A$, por lo tanto $B^T A$, tiene rango en la mayoría de los $\min (p,n)$ e $B^T A$ es $n \times n$. Además, el rango de $C$ es en la mayoría de las $n$, ya que el rango de $A$ es en la mayoría de las $n$. De ello se desprende que $C$ siempre cero como un autovalor con multiplicidad geométrica, al menos, $p-n$.

Answer 2

Para complementar Eric respuesta, de una manera en que esta expresión viene de la construcción de un proyector en el autoespacio correspondiente para que no sea defectuoso autovalor, es decir, uno con algebraicas y geométricas de la multiplicidad tanto de la igualdad a algunos $r>0$. Las columnas de $A$ consisten $r$ linealmente independiente del derecho vectores propios, mientras que las columnas de a$B$ constan de izquierda vectores propios. Si el subespacio propio no es la totalidad del espacio ambiente, entonces estas matrices serán de rango deficiente, y, en particular, $B^T$ tendrá un trivial en el espacio nulo, y el proyector.