Si un múltiple liso X está cubierto por una extraña esfera, entonces X es orientable.

Question

En la solución de algunos de la vieja clasificación de las preguntas del examen, he sido completamente perplejo.

Si una suave colector $X$ está cubierto por una extraña dimensiones de la esfera, a continuación, $X$ es orientable.

Veo que esta pregunta se ha planteado aquí, pero recibió poca atención. La respuesta me hizo ver que no era particularmente revelador.

Yo esperaba que si $X$ no orientable, entonces su orientación doble cubierta está conectado, y por lo tanto por el universal, la propiedad también cubiertos por $S^{2n+1}$. También estoy consciente de que $\chi(X)=0$, pero no estoy seguro de cómo proceder. Lamentablemente, este problema no es tan fácil como el caso donde el espacio está cubierto incluso una esfera, ya que esto permite emplear el hecho de que $Z_2$ es el único grupo que actúa libremente en $S^{2n}$ (y por lo tanto debe ser $RP^n$ o $S^{2n}$).

Gracias de antemano por su ayuda!

Answer 1

Cualquier cubierta no trivial transformación $f$ no tiene ningún punto fijo. $\forall p \in S^{2n+1}$, $p \ne f(p)$. Definir $F: S^{2n+1}\times[0,1] \rightarrow S^{2n+1}$ $$F(p,t)=\frac{(1-t)f(p)-tp}{|(1-t)f(p)-tp|}$$ Since $p\ne f (p)$ this is well defined and smooth. Intuitively, since $p\ne f (p)$, there is a unique path( the shortest path, which is a geodesic) from $f # (p)$ to the antipodal point $-p$, $F$ is just sliding $f # (p)$ to $-p$ along this path. $F$ is a smooth homotopy so $\deg {f} = \deg(-id) =(-1) ^ {2n} = 1$, so $f #$ preserva orientación.

Empuje hacia abajo esta $f$ preserva orientación conseguimos una orientación en el espacio base.

Answer 2

Supongo que te refieres a un suave cubriendo mapa. Si es así, recordemos que si $\tilde{X}$ está conectado, orientado, suave colector y $\pi:\tilde{X}\to X$ es un buen normal cubriendo mapa. A continuación, $X$ es orientable si y sólo si cada cubierta de transformación es la orientación de la preservación en $\tilde{X}$. (Lee, Suave Colectores, pg.392)

Decir que $\pi:S^{2n+1}\to X$ es un buen cubrimiento del mapa. Como $S^{2n+1}$ es simplemente conexa, es la universalización de la cobertura de $X$, y, en particular, una suave normal cubriendo mapa. Desde $S^{2n+1}$ está conectado y orientado, el teorema se reduce a mostrar que cada cubierta de transformación es la orientación de la preservación. Desde la cubierta de las transformaciones de actuar libremente en $S^{2n+1}$, cada no-identidad de la cubierta de la transformación no tiene puntos fijos. Así, en el espíritu de Xipan la respuesta de cada cubierta de transformación es homotópica a la antipodal mapa, que tiene el grado $1$. En particular, cada cubierta de transformación es la orientación de la preservación.