Cómo derivar la relación entre el $\eta$ función y $\Gamma(\frac{1}{4})$

Question

Estoy tratando de determinar de qué manera abordar la búsqueda de una conexión entre Función Eta de Dedekind definido como $$\eta(\tau)=q^\frac{1}{24}\prod_{n=1}^\infty(1-q^n)$$ donde $q=e^{2\pi i \tau}$ se denomina nome.

y la función gamma $$\Gamma(s)=\int_{0}^\infty x^{s-1}e^{-x}dx$$ Más concretamente, me gustaría entender a través de qué métodos se derivan estas identidades: $$\eta(i)=\Gamma(\frac{1}{4})\frac{\pi^{-3/4}}{2}$$ $$\eta(2i)=\Gamma(\frac{1}{4})2^{-11/8}\pi^{-3/4}$$ Y en general lo que parece ser $$\eta(ki)=\Gamma(\frac{1}{4})\pi^{-3/4}C_{k}$$ para números enteros $k$ y alguna constante $C_k$ Dónde $C_k$ parece ser algebraico para $k\in 1,2,3,4$ . Supongo que lo que realmente quiero saber es por qué este factor de $\Gamma(\frac{1}{4})\pi^{-3/4}$ entran en juego en valores enteros imaginarios para el $\eta$ ¿función?

Sé que hay una relación entre el $\eta$ y las Funciones Theta de Jacobi que se pueden encontrar usando el Teorema del Número Pentagonal o la Identidad del Triple Producto de Jacobi pero no sé cómo encaja en la evaluación de $\eta(ki)$ .

EDIT:Mi intento de respuesta: $$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^{2p}} dx=\frac{\Gamma(\frac{1}{2p})}{p}$$ se puede derivar a través de la sustitución. $$\frac{\Gamma^2(\frac{1}{2p})}{p^2}=\int_\Bbb {R^2}\exp(-(x^{2p}+y^{2p})dxdy$$ Aplicación de la transformación de coordenadas $x^{2p}+y^{2p}=r^{2p}$ con $x=r\frac{\cos(\phi)}{|\sin(\phi)|^{2p}+|cos(\phi)|^{2p}}$ y $y=r\frac{\sin(\phi)}{|\sin(\phi)|^{2p}+|cos(\phi)|^{2p}}$ Me sale $$\frac{\Gamma^2(\frac{1}{2p})}{p^2}=\int_{0}^\infty re^{-r^{2p}}dr\int_{0}^{2\pi}\frac{d\phi}{(\sin^{2p}(\phi)+\cos^{2p}(\phi))^{\frac{1}{p}}}$$ La integral sobre $r$ evalúa a $\frac{\Gamma(\frac{1}{p})}{2p}$

Así que $$\frac{2\Gamma^2(\frac{1}{2p})}{p\Gamma({\frac{1}{p})}}=\int_{0}^{2\pi}\frac{d\phi}{(\sin^{2p}(\phi)+\cos^{2p}(\phi))^{\frac{1}{p}}}$$ La integral es simétrica sobre $[0,\pi]$ y $[\pi, 2\pi]$ por lo que obtenemos $$\frac{\Gamma^2(\frac{1}{2p})}{p\Gamma({\frac{1}{p})}}=\int_{0}^{\pi}\frac{d\phi}{(\sin^{2p}(\phi)+\cos^{2p}(\phi))^{\frac{1}{p}}}$$ Enchufar $p=2$ produce $$\frac{\Gamma^2(\frac{1}{4})}{2\sqrt{\pi}}=\int_{0}^\pi \frac{d\phi}{\sqrt{\sin^4(\phi)+\cos^4(\phi)}}$$ Utilizando $u=\cos(\phi)$ Llego a $$\frac{\Gamma^2(\frac{1}{4})}{2\sqrt{\pi}}=\int_{-1}^1 \frac{du}{\sqrt{(2u^4-2u^2+1)(1-u^2)}}$$

$$\frac{\Gamma^2(\frac{1}{4})}{4\sqrt{\pi}}=\int_{0}^1 \frac{du}{\sqrt{-2u^6+5u^4-3u^2+1}}$$ Esto parece ser similar a una integral elíptica pero estoy encontrando problemas para reducirla a una forma que pueda evaluar.

EDIT: Si puedo evaluar la integral en términos de la Integral Elíptica Completa de Primer Tipo, puedo utilizar su relación con la Tercera Función Theta de Jacobi para evaluarla en términos de $\eta$ . De tal manera que $$\frac{\Gamma^2(\frac{1}{4})}{4\sqrt{\pi}}=cK(k')=\frac{\pi}{2}\theta_3^2(q)$$ Así llegamos a la forma familiar en el LHS $$\frac{\Gamma(\frac{1}{4})\pi^{-3/4}}{2}=\frac{\theta_3(q)}{\sqrt{2c}}$$

Answer 1

La clave es el vínculo entre la función eta de Dedekind y las integrales elípticas.

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Dejemos que $\tau$ sea puramente imaginario y esté en la mitad superior del plano complejo y que $$q=\exp(2\pi i\tau) \in(0,1)$$ sea el nome correspondiente. Consideremos el módulo elíptico $k\in(0,1)$ correspondiente a la denominación $q$ dado en términos de $q$ a través de las funciones theta de Jacobi $$k=\frac{\vartheta_{2}^{2}(q)}{\vartheta _{3}^{2}(q)},\,\vartheta_{2}(q)=\sum_{n\in\mathbb {Z}} q^{(n+(1/2))^{2}},\,\vartheta _{3}(q)=\sum_{n\in\mathbb {Z}} q^{n^2}\tag{1}$$ Dejemos que $k'=\sqrt {1-k^2}$ y definimos además las integrales elípticas $$K=K(k) =\int_{0}^{\pi/2}\frac{dx} {\sqrt{1-k^2\sin^2 x}}, \, K'=K(k') \tag{2}$$ El círculo de estas definiciones se completa finalmente con la fórmula $$\frac{K'} {K} =-2i\tau\tag{3}$$ Dejemos que $\tau'$ sea otro número puramente imaginario en la mitad superior del plano complejo tal que $$\frac{\tau'} {\tau} =r\in\mathbb {Q} ^{+} \tag{4}$$ Que el nome correspondiente sea $q'=\exp(2\pi i\tau') $ y los módulos elípticos sean $l, l'=\sqrt{1-l^2}$ y las integrales elípticas basadas en estos módulos se denotan por $L, L'$ . Entonces, a partir de la relación $\tau'=r\tau$ obtenemos a través de $(3)$ la ecuación modular $$\frac{L'} {L} =r\frac{K'} {K}, r\in\mathbb {Q} ^{+} \tag{5}$$ En estas circunstancias Jacobi demostró mediante la transformación de integrales elípticas que la relación entre los módulos $k, l$ es algebraica y la relación $K/L$ es una función algebraica de $k, l $ .

La función eta de Dedekind está relacionada con las integrales elípticas mediante la relación $$\eta(\tau) =q^{1/24}\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^n)=2^{-1/6}\sqrt{\frac{2K}{\pi}}k^{1/12}k'^{1/3}\tag{6}$$ Ahora dejemos que $\tau=i/2$ para que $q=e^{-\pi} $ y luego de $(3)$ tenemos $K=K'$ para que $k=k'=1/\sqrt{2}$ y es bien sabido que para este valor de $k$ tenemos $$K(k) =\frac{\Gamma^{2}(1/4)} {4\sqrt{\pi}} \tag{7}$$ Desde $(6)$ ahora se deduce que $\eta(\tau) =\eta(i/2)$ es un múltiplo algebraico de $\Gamma (1/4)\pi^{-3/4}$ .

Dejemos que $\tau'=ri, r\in \mathbb {Q} ^{+} $ para que $\tau'/\tau=2r$ es un número racional positivo. Como se ha señalado anteriormente, si $l, L$ corresponden a $\tau'$ entonces la relación entre $l$ y $k=1 /\sqrt{2}$ es algebraico, por lo que $l$ es un número algebraico y el cociente $K/L$ es una función algebraica de $k, l $ y por lo tanto $K/L$ también es un número algebraico. Así, a partir de la ecuación $(6)$ se deduce que $\eta(ri) $ es un múltiplo algebraico de $\Gamma (1/4)\pi^{-3/4}$ .

De forma más general se puede demostrar que si $r$ es un número racional positivo, entonces el valor de $\eta(i\sqrt{r}) $ puede expresarse en términos de valores de la función Gamma en puntos racionales y $\pi$ y ciertos números algebraicos.

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También permítanme completar el vínculo entre $\Gamma (1/4)$ y las integrales elípticas a partir de su enfoque. Tenemos $$\frac{\Gamma ^2(1/4)}{2\sqrt{\pi}}=\int_{0}^{\pi}\frac{dx}{\sqrt{\sin^4 x+\cos^4 x}}=\int_{0}^{\pi}\frac{dx}{\sqrt{1-2\sin^2 x\cos^2 x}}$$ y la integral puede escribirse además como $$\int_{0}^{\pi}\frac{dx}{\sqrt{1-(1/2)\sin^2 2x}}$$ Poniendo $2x =t$ podemos ver que se reduce a $$\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\frac{dt}{\sqrt{1-(1/2)\sin^2 t}}=2\int_{0}^{\pi/2}\frac{dx}{\sqrt{1-(1/2)\sin^2 x}}=2K(1/\sqrt{2})$$ y hemos terminado.

Answer 2

Este es un comentario largo:

De la identidad: $\eta(\frac{-1}{\tau})=\sqrt{i\tau}\eta(\tau)$ podemos derivar algunos valores más para $\eta$ que no aparecen en la página de la wikipedia. Tomando $\tau=ki$ .

$$\eta(\frac{-1}{ki})=\sqrt{-1i^2k}\eta(ki)$$

$$\eta(\frac{i}{k})=\sqrt{k}\eta(ki)$$

Así que ahora deberíamos ser capaces de conseguir unos cuantos más: Tomando $k=1,2$ no obtenemos ninguna información nueva, pero $k=3,4$ debería conseguirnos formularios cerrados para $\eta(i/3)$ y $\eta(i/4)$ . Así que de esta manera podemos ver que si $\eta(ki)$ es un número algebraico que se multiplica por $\Gamma(\frac{1}{4})\pi^{-3/4}$ entonces también lo es $\eta(i/k)$ . Esta conjetura se extendería a las "fracciones egipcias".

Answer 3

La función eta de Dedekind está relacionada con la de Euler $\phi$ función por $$ \eta(\tau)=q^{1/24}\phi(q) $$ así, por ejemplo, $$ \eta(i)=e^{-\pi/12}\phi(e^{-2\pi}). $$ En su "cuaderno perdido", Ramanujan informó del hallazgo de valores especiales de la función de Euler, como $$ \phi(e^{-2\pi})=\frac{e^{\pi/12}\Gamma(\frac{1}{4})}{2\pi^{3/4}} $$ y por lo tanto $$ \eta(i)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})}{2\pi^{3/4}}. $$ Los valores especiales que encontró Ramanujan han sido demostrados por George Andrews y Bruce Berndt. Véase El cuaderno perdido de Ramanujan .

El artículo de Wikipedia sobre el Función de Euler dice que Ramanujan encontró valores para $\phi(e^{-\pi})$ , $\phi(e^{-2\pi})$ , $\phi(e^{-4\pi})$ y $\phi(e^{-8\pi})$ que corresponden a $\eta(i/2)$ , $\eta(i)$ , $\eta(2i)$ y $\eta(4i)$ . Sin embargo, como usted menciona, el artículo de Wikipedia sobre el función eta informa como valor para $\eta(3i)$ por lo que Ramanujan debe haber encontrado también $\phi(e^{-6\pi})$ . Dudo que $\eta(ki)$ se conoce, pero tiene una conjetura plausible.

Answer 4

El valor de $k = 6$ es,

$$\eta(6i) = \frac{1}{2\cdot 6^{3/8}} \left(\frac{5-\sqrt{3}}{2}-\frac{3^{3/4}}{\sqrt{2}}\right)^{1/6}\,\color{brown}{\frac{\Gamma\big(\tfrac{1}{4}\big)}{\pi^{3/4}}}$$

En términos más generales, su observación de que $\eta(k\,i)$ es un producto de un número algebraico y esa proporción particular (en marrón) es correcta. Para $k>6$ y $\eta(\sqrt{-N})$ Ver este post: ¿Cuál es el valor exacto de $\eta(6i)$ ?