Prueba con homomorfismos de grupo

Question

La pregunta es la siguiente:

Dejemos que $G_1$ y $G_2$ ser grupos. Definir $\pi_1 : G_1 \times G_2 \rightarrow G_1$ por $\pi_1((a_1,a_2))=a_1.$ Definir $\pi_2 : G_1 \times G_2 \rightarrow G_2$ por $\pi_2((a_1,a_2))=a_2.$

Dejemos que $G$ sea un grupo cualquiera, y que $\phi : G \rightarrow G_1 \times G_2$ sea una función. Demuestre que $\phi$ es un homomorfismo de grupo si y sólo si $\pi_1\circ \phi$ y $\pi_2\circ \phi$ son ambos homomorfismos de grupo.

Ir hacia adelante es fácil, pero no estoy seguro de cómo hacer el sentido inverso (demostrando que si $\pi_1\circ \phi$ y $\pi_2\circ \phi$ son ambos homomorfismos de grupo, entonces $\phi$ es un homomorfismo de grupo).

Answer 1

También es fácil $$\varphi(gg')=((\pi_1\circ\varphi)(gg'),(\pi_2\circ\varphi)(gg'))={((\pi_1\circ\varphi)(g)\cdot(\pi_1\circ\varphi)(g')),(\pi_2\circ\varphi)(g)\cdot(\pi_2\circ\varphi)(g')))}=((\pi_1\circ\varphi)(g),(\pi_2\circ\varphi)(g))\cdot((\pi_1\circ\varphi)(g'),(\pi_2\circ\varphi)(g'))=\varphi(g)\varphi(g')$$

Answer 2

Míralo de esta manera: $\phi: G \to G_1\times G_2$ toma un elemento de $G$ y devuelve un par: un elmento de $G_1$ y un elemento de $G_2$ es decir $\phi(g)=(g_1,g_2)$ .

¿Puedes manipular esta expresión para obtener ecuaciones de la forma $g_1=?$ , $g_2=?$ El objetivo es expresar $\phi$ totalmente en términos de $\pi_1\circ\phi$ y $\pi_2\circ\phi$ que le permitirá calcular explícitamente $\phi(gh)$ y $\phi(g)\phi(h)$ .

Como nota al margen, me gustaría que no fuera tan común publicar preguntas sin contexto. Las matemáticas son algo muy personal, y es casi imposible dar buenas respuestas cuando no se sabe de dónde viene alguien, qué sabe, por qué hace una pregunta o qué espera sacar de ella. No digo que todas las preguntas deban ir acompañadas de una autobiografía, pero una simple frase como "estoy trabajando con Dummit y Foote de forma independiente", o "estoy atascado en mis deberes", o incluso "he encontrado este divertido problema", realmente hace que la interacción sea más saludable en mi opinión.

Answer 3

Dejemos que $ \phi(g) = (g_1, g_2)$ para cada $g \in G$ . y considerar $x, y$ en $G$ . Tenemos que demostrarlo: $\phi(xy) = \phi(x) \phi(y)$ .

Poner $\phi(x) = (x_1, y_1)$ y $\phi(y) = (x_2, y_2)$ . Entonces $\phi(x) \phi(y) = (x_1x_2, y_1y_2)$ .

A continuación, calculamos $\phi(xy)$ . Pongamos $\phi(xy) = (a,b)$ .

Entonces $$\pi_1(\phi(xy)) = a,\ \ and\ \ \pi_2(\phi(x*y)) = b$$ . Pero $$\pi_1(\phi(xy)) = \pi_1(\phi (x))\pi_1(\phi(y)) \implies a = x_1x_2$$ , y de forma similar $$\pi_2(\phi(xy)) = \pi_2(\phi(x))\pi_2(\phi(y)) \implies b = y_1y_2$$ .

Así que $(a,b) = (x_1x_2, y_1y_2) \implies \phi(xy) = \phi(x)\phi(y) \implies \phi$ es un homomorfismo.