Vamos $A$=[$a_{ij}$]$_{n x n}$ donde $a_{ii}$=$1$, $i=\overline {1,n}$, $a_{ij}=a\not=1, i\not=j$. Encontrar $A^n$, $n\in \mathbb N$

Question

Problema: Vamos a $A$=[$a_{ij}$]$_{n x n}$ donde $a_{ii}$=$1$, $i=\overline {1,n}$, $a_{ij}=a\not=1, i\not=j$. Encontrar $A^n$, $n\in \mathbb N$.

Necesito un poco de ayuda para resolver este problema. Ahora, yo sé cómo encontrar a $A^n$ si esta fue la matriz de 2 por 2, o 3 por 3. Sé que hay una manera de encontrar los valores propios y los vectores propios y la forma de las matrices $P$ (de vectores propios) y $D=diag(\lambda_1,...,\lambda_n)$ usando $A^n$=$PD^n$$P^{-1}$ (corrígeme si me equivoco). Sin embargo, no sé cómo encontrar los autovalores y eigen vectores. Así, traté de esto:

Mi matriz $A$ tendría esta forma:$$A= \begin{bmatrix} 1 & a & a & \cdots &a \\ a & 1 & a &\cdots &a \\ \vdots & \vdots &\vdots &\ddots&\vdots\\ a & a & a &\cdots &1 \\ \end{bmatrix} $$

Así, que es simétrica la matriz. Si miro a mi filas, veo que la suma de todos los elementos de cada fila es $(n-1)a+1$. Podría decir, entonces, que mi autovalor es $(n-1)a+1$ ? Yo estaba pensando en usar la $A^n\overrightarrow v=\lambda^n \overrightarrow v$ donde $\overrightarrow v$ mi autovector, para obtener el resultado, pero estoy realmente seguro de cómo ir desde aquí.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Continuando con el comentario que he proporcionado:

$$A-\lambda I=\begin{pmatrix} 1-\lambda&a&\cdots&a\\ a&1-\lambda&\cdots&a\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a&a&\cdots&1-\lambda \end{pmatrix} $$

Queremos que esta matriz sea singular. Ya sabemos que hacer las diagonales $-(n-1)a$ lo hace singular. Tratando de salir de $n=2$, se puede ver de inmediato que hacer todas las diagonales iguales a $a$ también funciona. Esta segunda posibilidad se corresponde con el autovalor $1-a$.

Estos son los únicos valores propios, como $v_i=(1,0,\ldots,0,\overbrace{-1}^\text{i-th place},0,\ldots,0)$ $i=2,\ldots, n$ son los vectores propios de a $\lambda=1-a$.

Por lo tanto, tenemos $$P=\begin{pmatrix} 1&1&1&\ldots&1\\ 1&-1&0&\ldots&0\\ 1&0&-1&\ldots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&0&0&\ldots&-1 \end{pmatrix}\qquad D=\begin{pmatrix} (n-1)a+1&0&0&\ldots&0\\ 0&1-a&0&\ldots&0\\ 0&0&1-a&\ldots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\ldots&1-a \end{pmatrix}$$

Después de algunos cálculos, se puede ver que $$P^{-1}=\frac1n\begin{pmatrix} 1&1&1&\ldots&1\\ 1&1-n&1&\ldots&1\\ 1&1&1-n&\ldots&1\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&1&1&\ldots&1-n \end{pmatrix}$$

Deje $c=(1-a)^n$$b=((n-1)a+1)^n$. A continuación,

$$A^n=DP^nP^{-1}=\frac1n\begin{pmatrix} b+(n-1)c&b-c&b-c&\ldots&b-c\\ b-c&b+(n-1)c&b-c&\ldots&b-c\\ b-c&b-c&b+(n-1)c&\ldots&b-c\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ b-c&b-c&b-c&\ldots&b+(n-1)c \end{pmatrix}$$