De hecho, al definir la suma y el producto, inicialmente se definen por exactamente dos números. No más, no menos. A continuación, observa que la adición y la multiplicación son asociativos, así que no importa si primero agregar a $a$$b$, y, a continuación, agregue $c$ al resultado, o de primero agregar a $b$$c$, y a continuación, añadir a $a$. Por lo tanto, usted puede fácilmente extender la definición a tres o más sumandos, mediante el uso de una recursividad: $a_1+\ldots+a_n = (a_1+\ldots+a_{n-1})+a_n$. De esta manera, se ha definido la suma de cualquier número de al menos dos sumandos.
Pero entonces, la restricción parece bastante arbitrario, por lo que podemos extender la definición a un solo sumando? Así, podemos, debido a la obvia condición es que la recursividad regla se mantiene, que es $(\text{the sum of $a_1$})+a_2 = a_1 + a_2$, lo que, por supuesto, para determinado $a_1$ tiene que llevar a cabo para todos los valores de $a_2$. Hay exactamente una solución a esta ecuación, es decir, $(\text{the sum of $a_1$})=a_1$.
Podemos ir aún más lejos y preguntarnos si podemos definir la suma de no números. Y, de hecho, podemos: Nuestro recursividad ahora dice $(\text{the sum of no numbers})+a_1 = a_1$, lo que por supuesto implica inmediatamente $(\text{the sum of no numbers})=0$.
La misma construcción se puede hacer con el producto de curso, y de nuevo consigue $(\text{the product of $a_1$})=a_1$, y, a continuación,$(\text{the product of no numbers})=1$.
Otra manera de hacer sentido de sumas de no o simplemente un número, imaginar un conjunto de disparidad finito de conjuntos (es decir, cada conjunto tiene sólo un número finito de elementos, y no hay dos conjuntos tienen los mismos elementos) y, a continuación, pregunte cuántos elementos hay un total de (matemáticamente: ¿cuántos elementos de la unión de los conjuntos de ha). Por supuesto, ya que los conjuntos de disparidad, el número total de elementos es la suma de los números de elementos en los conjuntos. Pero lo que si hay es sólo un juego? Bueno, en ese caso, el número total de elementos es el número de elementos de ese conjunto! Por lo tanto la suma de un número es ese número. Y por último, ¿qué pasa si no hay conjuntos? Bien, si no se establece, no hay elementos, por lo tanto la suma de los números no es $0$.
Para hacer el mismo argumento para la multiplicación, pregunte cuántos diferentes conjuntos hay que tener exactamente un elemento de cada uno de los conjuntos, y nada más. Usted encontrará que esto es sólo el producto de los tamaños de los conjuntos (por ejemplo, si tenemos los conjuntos de $\{a,b\}$ $\{1,2,3\}$ obtendrás los 6 conjuntos de $\{a,1\}$, $\{a,2\}$, $\{a,3\}$, $\{b,1\}$, $\{b,2\}$ y $\{b,3\}$). Pero lo que si usted tiene sólo un juego? Bien, entonces por supuesto que voy a conseguir uno para cada elemento de ese conjunto, por lo que el número de conjuntos que se obtiene es el número de elementos del conjunto, es decir, el producto de un número es el número en sí. Y si usted comienza con ningún conjunto para empezar? Así, el único conjunto que no tiene ningún elemento de otro conjunto es el conjunto vacío. Que es exactamente un juego, y por lo tanto el producto de los números no es $1$.
