Demostrar la divergencia de la serie de $1-\frac{1}{3}+\frac{2}{4}-\frac{1}{5}+\frac{2}{6}-\frac{1}{7}+\ldots$

Question

Demostrar la divergencia de la serie: $$ 1-{1\over3}+{2\over4}-{1\over5}+{2\over6}-{1\over7}+\ldots$$

El intento. Por supuesto, la prueba de Leibniz para la alternancia de la serie no se aplica, ya que los términos $1,1/3,2/4,...$ son no decrecientes (además, implica la convergencia de la serie, que no es nuestro caso). Pensé en trabajar en las sumas parciales $(s_n)$, especialmente
$$s_{2n}=1-{1\over3}+{2\over4}-{1\over5}+{2\over6}-{1\over7}+\ldots {2\over2n}-{1\over 2n+1}$$ en el fin de demostrar la divergencia, pero no he podido hacerlo.

Gracias de antemano por la ayuda.

Answer 1

Si esa serie es convergente, entonces la serie$$\left(1-\frac13\right)+\left(\frac12-\frac15\right)+\cdots+\left(\frac1n-\frac1{2n+1}\right)+\cdots$$would converge too. But$$\frac1n-\frac1{2n+1}=\frac{n+1}{2n^2+n}$$and you can use the comparaison test (with respect to the harmonic series) to prove that the series $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n+1}{2n^2+n}$ diverge.

Answer 2

Uno más:

$1-1/3 +2/4-1/5+2/6-1/7+2/8.....=$

$(1/2+1/2-1/3)+ (1/4+1/4-1/5) + (1/6+1/6-1/7)+....\gt$

$(1/2 +1/3-1/3) +(1/4+1/5-1/5)+ (1/6+1/7-1/7)+..=$

$1/2+1/4+1/6+1/8+........=$

$(1/2)(1+1/2+1/3+1/4..........),$

serie armónica.

Answer 3

El Leibnitz prueba no le permiten demostrar la divergencia, es sólo una condición suficiente para la convergencia, no es necesario. La serie puede ser escrito como

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac 1n -\frac{1}{2n+1} \right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n(2n+1)}, $$

que es divergente por comparación con la serie armónica.

Answer 4

Su serie $$ \frac 22- \frac 13 + \frac 24 - \frac 15 + \frac 26 + \ldots $$ es la suma de los convergentes alterna de la serie $$ \frac 12- \frac 13 + \frac 14 - \frac 15 + \frac 16 + \ldots $$ y la divergencia de la serie $$ \frac 12 \left( 1 + 0 + \frac 12 + 0 + \frac 13 + \ldots \right) $$ y por lo tanto divergentes.

Answer 5

Su serie en serio puede escribirse como

$$s=1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cdot\frac{3+(-1)^n}{2n+4}.$$

Este es el primer paso importante para evitar la ambigüedad.

Considerando $N$-ésima suma parcial de la serie infinita, podemos deducir

$$\sum_{n=1}^{N}(-1)^n\cdot\frac{3+(-1)^n}{2n+4}=\sum_{n=1}^{N}\frac{3\cdot (-1)^n}{2n+4}+\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{2n+4}.$$

Mientras que en el primer parcial de la suma converge a algún valor finito (simplemente la aplicación de Leibniz criterio), el segundo tiende a $+\infty$ por comparación con la suma de armónicos.

Por lo tanto, la infinita serie es divergente.