El uso de Weierstrass del Teorema de la Factorización de

Question

Estoy tratando de factorizar $\sin(x)\over x$, por la expansión en series de Taylor y el uso de las raíces es $$a \cdot \left(1 - \frac{x}{\pi} \right) \left(1 + \frac{x}{\pi} \right) \left(1 - \frac{x}{2\pi} \right) \left(1 + \frac{x}{2\pi} \right) \left(1 - \frac{x}{3\pi} \right) \left(1 + \frac{x}{3\pi} \right) \cdots$$

Ahora me dijeron que este desagradable factor de $a$ convenientemente se convierte en $1$ debido a Weierstrass del Teorema de la Factorización de que es un trascendental generalización del Teorema Fundamental del Álgebra.

Mi pregunta
Podría usted por favor, muéstrame cómo $a$ está siendo neutralizado el uso de este teorema? O no te necesito este teorema para hacerlo?

Answer 1

La factorización de Weierstrass teorema como generalmente se indica indica sólo que $a=e^{g(x)}$ para algunos de la función $g(x)$. Hadamard del refinamiento dice un poco más, basado en la tasa de crecimiento de la función. En su caso, desde la $\left| \frac{\sin x}{x} \right| < \exp\left(|x|^{1+o(1)} \right)$ como el número complejo a $x$ crece, Hadamard le dice que $g(x)$ es un polinomio de grado en la mayoría de las $1$. Desde $\frac{\sin x}{x}$ $\prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{x^2}{n^2 \pi^2} \right)$ son tanto o incluso funciones, por lo que es $e^{g(x)}$. Por lo tanto $g(-x)-g(x)$ es un (constante) múltiplo entero de $2\pi i$. Por lo tanto $g(x)$ es constante, y así es $a$. Por último, como todos los demás, ha señalado, tomando el límite cuando $x$ $0$ muestra que $a=1$.

Ver Ahlfors, análisis Complejo para obtener más información sobre Hadamard del refinamiento, que relaciona el "orden" y el "género" de toda la función.

Answer 2

El valor de este producto para la pequeña x es el producto de $(1-x^2/(n \pi)^2)$ que, cuando se toman los registros (y debido a la segunda potencia en x), se comporta como la suma de n de $-x^2/(n\pi)^2$, que se aproxima a 0 cuando x se aproxima a 0.