¿Qué es el *argumento estándar de la dualidad?

Question

¿Qué es la ¿el argumento estándar de la dualidad? He visto este ejemplo en la siguiente declaración. El caso $p < 2$ se deduce del argumento de dualidad estándar. Para demostrar

Teorema: [Calderón Zigmund] Si $u$ es una solución de \begin{equation} \Delta u = f \quad \mbox{in} \quad B_2 \end{equation} entonces \begin{equation} \int_{B_2} | D^2u|^p \le \Bigl(\int_{B_2} |f|^p + \int_{B_2} |u|^p \Bigr) \quad \mbox{for any} 1<p< + \infty. \end{equation}

Answer 1

Dejemos que $A_p = -\Delta$ , $A_p : W^{1,p} \to (W^{1,p'})'$ para $1 < p < \infty$ , donde $p'$ es el exponente adjunto con $1 = 1/p + 1/p'$ .

En primer lugar, demuestra que $A_p$ es invertible para $p \in [2,\infty)$ . El argumento de la dualidad significa simplemente que el adjunto de $A_p$ es $A_{p'}$ . Entonces, la invertibilidad (acotada) para $A_{p'}$ se deduce de la invertibilidad (acotada) de $A_p$ .

Answer 2

Alberto Calderón y Antoni Zygmund no tienen nada que ver con este teorema que no puede ser cierto sin especificar alguna condición de contorno en $\partial B_2$ . La condición de contorno que falta es, por supuesto, un terrible error que facilita, por ejemplo, establecer que el subespacio de todas las funciones armónicas en $W^{2,p}(B_2)$ es de dimensión finita, lo cual es obviamente absurdo. Sólo hay dos opciones para corregir el error y relacionar la estimación con el teorema de Calderón-Zygmund: sustituir la bola $B_2$ por todo el espacio $\mathbb{R}^n$ o sustituir de otro modo $B_2$ en el lado izquierdo por una bola más pequeña, digamos $B_1\subset B_2\,$ insertando en ambos casos un factor constante $C_p\,$ en el lado derecho del esimate. Sin ese factor, dependiendo de $p$ la estimación no puede hacerse válida para cualquier $p\in (1,\infty)$ ya que debido a $C_p=1$ las soluciones se mantendrían necesariamente acotadas, mientras que $p\to 1\,$ o $\,p\to \infty\,$ , lo cual es definitivamente erróneo.