¿Es número racional?

Question

¿Cómo podemos comprobar si el número $a=\frac{ \sqrt[4]{2}+\sqrt[3]{3}}{\sqrt[4]{2}+\sqrt[3]{3} +1}$ es racional?

¿Hay alguna solución inteligente? ¿Otra asignación es encontrar $\left( \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},\sqrt[3]{3}):\mathbb{Q} \right)$ que es doce, tal vez podemos de alguna manera usarlo para comprobar si $a$ es racional o no?

Answer 1

Yo estaba curioso en cuanto a lo difícil que sería para mostrar que $\sqrt[4]{2} + \sqrt[3]{3}$ es irracional por el uso ordinario de la escuela secundaria de precálculo métodos, donde la raíz racional teorema de polinomios con coeficientes enteros se aplica.

El primer paso es obtener un polinomio con coeficientes enteros tener $x = \sqrt[4]{2} + \sqrt[3]{3}$ como una raíz.

$$x \; = \; \sqrt[4]{2} + \sqrt[3]{3}$$ $$ x - \sqrt[3]{3} \; = \; \sqrt[4]{2}$$ $$ \left( x - \sqrt[3]{3} \right)^4 \; = \; \left( \sqrt[4]{2} \right)^4$$ $$ x^4 - 4x^{3}\sqrt[3]{3} + 6x^{2}\sqrt[3]{9} - 4x\sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{81} \; = \; 2$$ $$ x^4 - 4x^{3}\sqrt[3]{3} + 6x^{2}\sqrt[3]{9} - 12x + 3\sqrt[3]{3} \; = \; 2$$ $$ \left(x^4 - 12x - 2\right) \; + \; \sqrt[3]{3}\left( 3 - 4x^3\right) \; + \; \sqrt[3]{9}\left(6x^2\right) \;\;\; = \;\;\; 0$$ Ahora voy a hacer uso de la identidad $$(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc) \;\; = \;\; a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$$ para $\;a = \left(x^4 - 12x - 2\right)\;$ $\;b = \sqrt[3]{3}\left( 3 - 4x^3\right)\;$ $\;c = \sqrt[3]{9}\left(6x^2\right).$

En concreto, voy a multiplicar ambos lados de la ecuación anterior (la ecuación de tener $0$ sobre su lado derecho) por el "$x$-expresión equivalente" de lo $a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc$ es igual. Sin embargo, no es necesario escribir "$x$-expresión equivalente", ya que el lado izquierdo se convertirá en $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ (lo que voy a escribir) y en la parte derecha todavía se $0.$, con Lo que, después de multiplicar ambos lados por el "$x$-expresión equivalente" de $a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc,$ tenemos $$ \left(x^4 - 12x - 2\right)^3 \; + \; \left(\sqrt[3]{3}\right)^3\left( 3 - 4x^3\right)^3 \; + \; \left(\sqrt[3]{9}\right)^3\left(6x^2\right)^3$$ $$ - \;\;\; 3 \cdot \left(x^4 - 12x - 2\right) \cdot \left(\sqrt[3]{3}\right)\left( 3 - 4x^3\right) \cdot \left(\sqrt[3]{9}\right)\left(6x^2\right) \;\;\; = \;\;\; 0$$ La clave para mantener este de conseguir realmente complicado es recordar que para el racional de la raíz prueba que sólo necesitan el coeficiente inicial y el coeficiente constante. $$\left(x^{12} \; + \; \ldots \; - \; 8 \right) \;\; + \;\; 3\left(27 \; + \; \ldots \; - \; 64x^9\right) \;\; + \;\; 9\cdot6^3x^6$$ $$- \;\;\; 54x^2\left(x^4 - 12x - 2\right)\left(3 - 4x^3\right) \;\;\; = \;\;\; 0$$ Claramente, el líder del coeficiente de $1$ (coeficiente de $x^{12},$ que aparece sólo una vez --- en la izquierda-la mayoría de expresión entre paréntesis) y el coeficiente constante es $-8 + (3)(27) = 73$ (tenga en cuenta que sólo las dos expresiones entre paréntesis que contiene puntos suspensivos contribuir a la constante coeficiente). Por lo tanto, la única posibilidad racional de las raíces de la ecuación anterior, que ha $\sqrt[4]{2} + \sqrt[3]{3}$ como una raíz, son factores de $73,$ y, por tanto, pertenecen al conjunto de $\{1, \, -1, \, 73, \, -73\}.$, Claramente, ninguno de estos cuatro números enteros es igual a $\sqrt[4]{2} + \sqrt[3]{3}.$ [¿Quieren pruebas? Desde $\sqrt[4]{2} + \sqrt[3]{3}$ es la suma de dos números reales positivos, se deduce que el $-1$ $-73$ se elimina. También, $\sqrt[4]{2} + \sqrt[3]{3}$ es mayor que $\sqrt[4]{1} + \sqrt[3]{1} = 1+1 = 2,$ $1$ es eliminado. Finalmente, $\sqrt[4]{2} + \sqrt[3]{3}$ es de menos de $\sqrt[4]{16} + \sqrt[3]{27} = 2 + 3 = 5,$ $73$ es eliminado.]

Por lo tanto, desde el $\sqrt[4]{2} + \sqrt[3]{3}$ es una solución para la ecuación anterior y $\sqrt[4]{2} + \sqrt[3]{3}$ difiere de todas las posibles raíces racionales de la ecuación, se deduce que el $\sqrt[4]{2} + \sqrt[3]{3}$ no es racional.

Answer 2

Como se señaló en los comentarios, basta para mostrar que $\sqrt[4]{2}+\sqrt[3]{3}$ es irracional. Podemos de hecho utilizar el hecho de que $[\mathbb Q(\sqrt[4]{2},\sqrt[3]{3}):\mathbb Q]=12$ para mostrar esto. Tenga en cuenta que $$ \begin{align*} [\mathbb Q(\sqrt[4]{2},\sqrt[3]{3}):\mathbb Q] &=[\mathbb Q(\sqrt[4]{2}+\sqrt[3]{3},\sqrt[3]{3}):\mathbb Q]\\ &=[\mathbb Q(\sqrt[4]{2}+\sqrt[3]{3},\sqrt[3]{3}):\mathbb Q(\sqrt[4]{2}+\sqrt[3]{3})][\mathbb Q(\sqrt[4]{2}+\sqrt[3]{3}):\mathbb Q]\\ &\le 3[\mathbb Q(\sqrt[4]{2}+\sqrt[3]{3}):\mathbb Q] \end{align*} $$ así $[\mathbb Q(\sqrt[4]{2}+\sqrt[3]{3}):\mathbb Q]\ge 4$, que $\sqrt[4]2+\sqrt[3]3$ no puede ser racional.