Factor $6x^2​ −7x−5=0$

Question

Estoy tratando de factor de

$$6x^2​ −7x−5=0$$

pero no tengo ni idea acerca de cómo hacerlo. Me gustaría ser capaz de este factor:

$$x^2-14x+40=0$$ $$a+b=-14$$ $$ab=40$$

Pero $6x^2​ −7x−5=0$ le parece que no sigue las reglas, debido a que el coeficiente de x. Cualquier sugerencias?

Answer 1

Considere que el producto \begin{align*} (4x + 7)(3x - 8) & = 4x(3x - 8) + 7(3x - 8)\\ & = \color{blue}{12}x^2 \color{green}{- 32}x + \color{green}{21}x \color{blue}{-56}\\ & = \color{blue}{12}x^2 \color{green}{- 11}x \color{blue}{- 56} \end{align*} Observe que el producto de la cuadrática y constante de los coeficientes es igual al producto de los dos lineal de coeficientes de la expresión $\color{blue}{12}x^2 \color{green}{- 32}x + \color{green}{21}x \color{blue}{-56}$, es decir, $$(\color{blue}{12})(\color{blue}{-56}) = (\color{green}{-32})(\color{green}{21}) = -672$$ Ahora supongamos que $ax^2 + bx + c$ es una ecuación cuadrática polinomio con coeficientes enteros que tiene la factorización de \begin{align*} ax^2 + bx + c & = (rx + s)(tx + u)\\ & = rx(tx + u) + s(tx + u)\\ & = \color{blue}{rt}x^2 + \color{green}{ru}x + \color{green}{st}x + \color{blue}{su}\\ & = \color{blue}{rt}x^2 + (\color{green}{ru + st})x + \color{blue}{su}\\ \end{align*} Igualando los coeficientes de los rendimientos \begin{align*} a & = \color{blue}{rt}\\ b & = \color{green}{ru + st}\\ c & = \color{blue}{su} \end{align*} Tenga en cuenta que el producto de la cuadrática y lineal de coeficientes es igual al producto de los dos lineal de coeficientes que tienen suma $b$, es decir, $$(\color{blue}{rt})(\color{blue}{su}) = (\color{green}{ru})(\color{green}{st})$$ Por lo tanto, si un polinomio cuadrático $ax^2 + bx + c$ factores con respecto a los números racionales, podemos dividir el término lineal en dos términos lineales cuyos coeficientes de producto $ac$ y suma $b$.

Para dividir el término lineal de $6x^2 - 7x - 5$, debemos encontrar dos números de producto $6 \cdot (-5) = -30$ y suma $-7$. Son$-10$$3$. Por lo tanto, \begin{align*} 6x^2 - 7x - 5 & = 0\\ 6x^2 - 10x + 3x - 5 & = 0 && \text{split the linear term}\\ 2x(3x - 5) + 1(3x - 5) & = 0 && \text{factor by grouping}\\ (2x + 1)(3x - 5) & = 0 && \text{extract the common factor} \end{align*} Para resolver la ecuación, utilice la propiedad del producto cero $ab = 0 \iff a = 0~\text{or}~b = 0$.

Answer 2

Darse cuenta de que $$(ax-b)(cx+d)=acx^2-(bc-ad)x-bd$$ Poner $a=3$, $c=2$, $b=5$, $d=1$.

$$6x^2-7x-5=3 \times 2 x^2-(2 \times 5 - 3 \times 1)x -5 \times 1=(3 \times x-5)(2 \times x+1)$$

Answer 3

$$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2),$$ donde $$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Por ejemplo: $$3x^2-7x+2=0$$ $$x_{1,2}=\frac{7\pm \sqrt{7^2-24}}{2\cdot3}=\frac{7\pm \sqrt{25}}{6}$$ $$x_1=\frac13; x_2=2$$ $$3x^2-7x+2=3(x-\frac13)(x-2)=(3x-1)(x-2)$$

Answer 4

Primero comprobar si los factores sobre los racionales. Un trinomio cuadrático factores si y sólo si el discriminante $b^2-4ac$ es un cuadrado perfecto. \begin{equation} (-7)^2-4(6)(-5)=169=13^2 \end{equation} Siguiente, solucionar $a+b=-7$$ab=(6)(-5)=-30$. Por lo $a=-10$$b=3$.

El uso de estos dos resultados para reescribir la $-7x$$-10x+3x$.

\begin{equation} 6x^2-10x+3x-5 \end{equation}

A continuación, factor por agrupación:

\begin{equation} 2x(3x-5)+1(3x-5)=(2x+1)(3x-5) \end{equation}

Answer 5

Supongamos que se tiene una factorización como un producto $$6 x^2 - 7 x - 5 = (a x + b) (c x + d)$$ de las expresiones lineales con coeficientes racionales. Esto obliga a que los coeficientes sean números enteros. Multiplicando el lado derecho, tenemos $$6 x^2 - 7x - 5 = (a c) x^2 + \cdots + b d .$$ Por eso, $a c$ son enteros cuyo producto es $6$, y podemos muy bien suponer que ambos son positivos (ya que podemos multiplicar ambos de la monomials por $-1$ sin cambiar el valor de su producto). Por lo tanto, $a, c$ son $1, 6$ o $2, 3$, y por etiquetar de nuevo si es necesario, la factorización es $$(6 x + b) (x + d) \qquad \textrm{or} \qquad (3 x + b) (2 x + d) .$$ Ahora, también tenemos $bd = -5$, por lo que uno de $b$ $d$ debe $\pm 1$ y el otro debe ser $\mp 5$. No sabemos a priori que es la que, dejando a los cuatro candidatos para factorizations.