Pregunta sobre las desigualdades de simétrica significa.

Question

Deje $\sum_\text{sym}a^xb^yc^z = [x,y,z]$. Demostrar que $\frac32[7/3,1/3,1/3]+2[4/3,4/3,1/3] \geq \frac32[1,1,1] + 2[5/3,2/3,2/3]$. Tengo esta tratando de probar que para los positivos reales $a,b,c$ donde $abc=1$ demostrar que $a+b+c \geq \sqrt{\frac{(a+2)(b+2)(c+2)}3}$. Elevando al cuadrado, la expansión y homogeneización tengo esto y todavía ni muirhead, ni schur parecen quebrarse. Cualquier ayuda sería muy apreciada

Answer 1

Con $p=a+b+c, q = ab+bc+ca$, la desigualdad es (en cuadratura):

$$3p^2\ge 4p+2q+9$$ lo que sigue a partir de la adición de las evidentes desigualdades $p^2 \ge 3q$, $q\ge 3$ y $2p^2 \ge 4p+6 \iff 2(p-3)(p+1) \ge 0$ que es cierto lo $p \ge 3$.