$x^4 + 4rx + 3s = 0$ no tiene raíces reales. Relacionar $r, s$ .

Question

Se da la circunstancia de que $x^4 + 4rx + 3s = 0$ no tiene raíces reales. ¿Qué se puede decir de r y s?

a) $r^2 < s^3$
b) $r^2 > s^3$
c) $r^4 < s^3$
d) $r^4 > s^3$

¿Cómo empezar?

Answer 1

La ecuación no tiene raíces reales si y sólo si el mínimo valor de la función $f(x)=x^4+4rx+3s$ es positivo.

Establecer la derivada de $f(x)$ igual a $0$ y resolver, para encontrar una expresión para la $x$ en el que se produce el mínimo.

Conecte esto a $f(x)$ para encontrar el mínimo valor de nuestra función.

Escribe la condición de que este valor mínimo sea positivo.

Answer 2

Pista:

Suponiendo que $\,r,s\in\Bbb R\, $ las raíces del polinomio son $\,z,\bar z,w,\bar w\;,\;\;z,w\in\Bbb C-\Bbb R\,$ (¿por qué?) , así que:

$$z\bar zw\bar w=|z|^2|w|^2=3s$$

$$z+\bar z+w+\bar w=0\implies \operatorname{Re}(z+w)=0$$

$$|z|^2(w+\bar w)+|w|^2(z+\bar z)=-4r\;,\;\;\text{so}\ldots$$