Casi seguro de convergencia + convergencia en la distribución implica la articulación de convergencia en la distribución?

Question

Me pregunto, si tengo dos secuencias de variables aleatorias $(X_n)$$(Y_n)$, definido en el mismo espacio de probabilidad, de tal manera que $X_n\stackrel{a.s.}{\rightarrow}X$$Y_n\stackrel{d}{\rightarrow}Y$, es posible concluir que convergen de manera conjunta en la distribución, es decir,$$ (X_n,Y_n)\stackrel{d}{\rightarrow}(X,Y) $$ as $ n\to\infty$?

Creo que esta pregunta está estrechamente relacionada con la siguiente: si $Y_n\stackrel{d}{\rightarrow}Y$, es cierto que $$ (X,Y_n)\stackrel{d}{\rightarrow}(X,Y) $$ as $n\to \infty$?

Gracias de antemano por cualquier reflexiones, comentarios, etc.!

Answer 1

Para tu segunda pregunta, tome $Y_n = X$, e $Y$ a ser independiente de $X$, con la misma distribución. Esto implica que la respuesta a tu primera pregunta es no.

Answer 2

La convergencia en la distribución es el más débil de la forma de la convergencia. Por lo tanto, $X_{n}\rightarrow_{a.s} X$ implica que el $X_{n}\rightarrow_{d} X$. Entonces, uno puede demostrar a partir de esto que $(Y_{n},c)\rightarrow_{d}(Y,c)$ para cualquier constante $c$ mediante la definición de convergencia: $E(f(Y_{n},c))\rightarrow E(f(Y,c))$ para cualquier delimitada la función $f$.

Luego, simplemente mostrar que $(Y_{n},X_{n})\rightarrow_{d}(Y_{n},X)$ que es evidente el uso de la definición de la convergencia en probabilidad(que de nuevo implica la convergencia en la distribución). Por lo tanto, para obtener ese $(Y_{n},X_{n})\rightarrow_{d} (Y_{n},X)\rightarrow_{d} (Y,X)$ donde aquí tomamos $X=c$ en el párrafo anterior. Por lo tanto usted tiene el resultado que $(Y_{n},X_{n})\rightarrow_{d}(Y,X)$.