Cómo demostrar a $ \int_{a}^{b}f\left ( x \right )\cot\left ( x \right )dx=2\sum_{n=1}^{\infty }f\left ( x \right )\sin\left ( 2nx \right )dx$

Question

Cómo probar esta igualdad de abajo

$$\int_{a}^{b}f\left ( x \right )\cot\left ( x \right )\mathrm{d}x=2\sum_{n=1}^{\infty }\int_{a}^{b}f\left ( x \right )\sin\left ( 2nx \right )\mathrm{d}x$$

La serie RHS parece ser divergencia...no sé cómo hacer primero.

Answer 1

Sugerencia:

$$2\sum_{n=1}^{\infty }\int_{a}^{b}f\left ( x \right )\sin\left ( 2nx \right )\mathrm{d}x=\int_{a}^{b}f(x)\left[2\sum_{n=1}^{\infty}\sin\left ( 2nx \right )\right]dx$$

Así que, esencialmente, usted tiene que demostrar que

$$\cot(x)=2\sum_{n=1}^{\infty}\sin(2nx)$$

Uso Eulers fórmula $e^{i2nx}=\cos(2nx)+i\sin(2nx)$ a mostrar esto. E. g. suma más de $e^{i2nx}$ y, a continuación, tomar el maginary parte del resultado.