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Encontrar \lim\limits_{x\to 0}\left (\frac{1^x+2^x+3^x+\dots+n^x}{n} \right)^{\frac1x}

Considere la siguiente expresión.

\lim\limits_{x\to 0} \left (\frac{1^x+2^x+3^x+\dots+n^x}{n} \right )^{\frac 1 x}

Cómo resolver esto?

Deje y= \left (\frac {1^x+2^x+\cdots +n^x} {n} \right)^{1/x}

Traté de tomar \ln en ambos lados. Tenemos que \ln(y)=\frac{1}{x}\ln \left (\frac {1^x+2^x+\cdots +n^x} {n} \right ).

Tomando \lim a ambos lados obtenemos \ln(y)=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\ln \left (\frac {1^x+2^x+\cdots +n^x} {n} \right ).

Ahora la aplicación de la LH regla, obtenemos \ln(y)=\lim_{x\to 0}\frac{n}{1^x+2^x+\cdots +n^x}({1^x\ln(1)+\cdots +n^x\ln(n)})

Es este un camino a seguir?

3voto

tarit goswami Puntos 76

En realidad, \ln(y)=\frac{1}{x}\ln{\frac{(1^x+2^x+...+n^x)}{n}}. Siempre después de poner el x=0 obtener el formulario de 1^{\infty}, usted necesita tomar la \ln y encontrar el límite.

Aquí, después de poner a x=0, tenemos \big(\frac{1^0+2^0+\cdots +n^0}{n}\big)^{1/0}=1^{\infty}. Así que tomando \ln en ambos lados y encontrar el límite es el enfoque correcto.

3voto

Paras Khosla Puntos 23

Definir S=\{k \mid k\in \mathbb{Z}^+ \land k\le n\}. Definir el límite de L. Volver a escribir como \exp \ln L y el uso de la regla de L'Hospital y que voy a hacer en ningún momento.

\begin{aligned}\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{\displaystyle\sum_{k\in S}k^x}{n}\right)^{1/x}&=\lim_{x\to 0} \exp \dfrac{1}{x}\ln\left(\dfrac{\displaystyle\sum_{k\in S}k^x}{n}\right)\\&=\lim_{x\to 0}\exp \dfrac{n}{\displaystyle\sum_{k\in S}k^x}\cdot\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left[\dfrac{\displaystyle \sum_{k\in S} k^x}{n}\right]\\&=\lim_{x\to 0}\exp \dfrac{n}{\displaystyle \sum_{k\in S}k^x}\cdot\dfrac{\displaystyle\sum_{k\in S}k^x\ln k}{n}\\ &=\lim_{x\to 0}\exp \dfrac{\displaystyle\sum_{k\in S}k^x\ln k}{\displaystyle \sum_{k\in S}k^x}\to \exp \dfrac{\ln n!}{n}=\sqrt[n]{n!}\end{aligned}

3voto

zhw. Puntos 16255

Su enfoque básico está bien, pero hay algunos problemas. La primera es donde usted dice "toma de \lim en ambos lados". Usted no puede tomar el límite a menos que usted sabe que el límite existe. Pero eso es parte del ejercicio, ¿verdad? Me gustaría omitir la \lim negocio hasta el final. Segundo, ¿por qué usted todavía tiene \ln y a la izquierda después de "tomar el límite"? Finalmente, no es la expresión correcta en el uso de LHR. Debe ser

\frac{n}{1^x+2^x+\cdots +n^x}\cdot\frac{1^x\ln(1)+\cdots +n^x\ln(n)}{n}.

3voto

qwertz Puntos 16

Escribo esta respuesta sólo porque el mal es aceptado.

Hay un error en su expresión final. Debe ser:

\lim_{x\to 0}\frac{n}{1^x+2^x+\cdots +n^x}\frac{1^x\ln(1)+\cdots +n^x\ln(n)}{\color{red}n}=\frac{\ln n!}{n}.

De la misma manera: \lim\limits_{x\to 0} \left (\frac{1^x+2^x+3^x+\dots+n^x}{n} \right )^{\frac 1 x}=\sqrt[n]{n!}.

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