Límite generalizado de $\left(1+\frac{f(n)}{n}\right)^n$

Question

Estoy familiarizado con que para $a \in \mathbb{R}$ el resultado es: $$ \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{a}{n} \right)^n = e^a $$ Solo estoy preguntándome, si se tiene algo como $\lim_{n\to \infty}f(n) =d$, entonces el resultado general debería ser:

$$ \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{f(n)}{n} \right)^n = e^{\lim_{n \to \infty} f(n)} = e^d $$

Answer 1

Sí, el resultado es verdadero. Cuando $n$ tiende a infinito, dado que $\frac{f(n)}{n}$ tiende a $0$, podemos escribir

$$\begin{eqnarray*}\left(1 + \frac{f(n)}{n}\right)^n &=& \exp \left[n \ln\left(1 + \frac{f(n)}{n}\right)\right]\\ &=& \exp \left[n \ln\left(1 + \frac{d + o(1)}{n}\right)\right]\\ &=& \exp \left[n \left( \frac{d}{n} + o\left(\frac{1}{n} \right) \right)\right]\\ &=& \exp \left[d + o(1)\right]\\ &=& e^d + o(1) \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} e^d \end{eqnarray*}$$

Answer 2

Supongamos que $f(n) \to d$ cuando $n \to \infty$, y sea $\epsilon > 0$ arbitrario. Entonces, para $N$ suficientemente grande (digamos $n > N$), tenemos

$$\left(1+\frac{d-\epsilon}{n}\right)^n \le \left(1+\frac{f(n)}{n}\right)^n \le \left(1+\frac{d+\epsilon}{n}\right)^n$$

si tomamos $n$ lo suficientemente grande (digamos, $n > M$), entonces también podemos concluir

$$e^{d-\epsilon}-\epsilon \le \left(1+\frac{f(n)}{n}\right)^n \le e^{d+\epsilon}+\epsilon$$

Pero, esto es cierto para todo $\epsilon > 0$ siempre que $n$ sea suficientemente grande, así que podemos concluir

$$\lim_{\epsilon\to 0} e^{d-\epsilon}-\epsilon \le \liminf_{n \to\infty} \left(1+\frac{f(n)}{n}\right)^n$$ y también $$\limsup_{n \to\infty} \left(1+\frac{f(n)}{n}\right)^n \le \lim_{\epsilon \to 0} e^{d+\epsilon}+\epsilon$$

de lo cual obtenemos $\liminf_{n \to\infty} \left(1+\frac{f(n)}{n}\right)^n = \limsup_{n \to\infty} \left(1+\frac{f(n)}{n}\right)^n = e^d$, entonces $\lim_{n \to\infty} \left(1+\frac{f(n)}{n}\right)^n=e^d$