La minimización de la longitud de una tubería entre ciudades

Question

He estado tratando de minimizar la tubería que va a dos ciudades diferentes. Ciudad se encuentra en $(0,4)$ a y la ciudad B está situado en la $(6,3)$. Las ciudades deben conectarse a la $x$-eje (la principal línea de tubería.) Se permite conectar la tubería de ambas ciudades para un punto medio $M$ y, a continuación, conecte el punto a de la $x$-eje.

He sido capaz de establecer una función de dar a la longitud de las tuberías de $f(x,y)$ usando el teorema de pitágoras y la suma de las tres longitudes de tubo y, a continuación, minimizando numéricamente. He encontrado tratando de minimizar exactamente con los derivados de los rendimientos de alta potencia polinomios, y no creo que hay una manera general para resolverlo. Es allí una manera más elegante para encontrar el mínimo?

Tengo un amigo que usa un triángulo en el centro, se me olvida que uno, para encontrar el punto, pero no era capaz de darme las coordenadas de esta manera.

Gracias por su ayuda!

Answer 1

Estás buscando el punto de Fermat, $M(x)$, del triángulo cuyos vértices son $A=(6,3)$, $B=(0,4)$, y $C=(x,0)$, y tratando de minimizar el valor

$$d(x)=|AM|+|BM|+|CM|$$

De acuerdo a este cálculo, los ángulos agudos entre el $\overline{AM},\overline{BM},$ $\overline{CM}$ todos los $\frac{2\pi}{3}$. Apelando a la intuición, podemos ver que $d(x)$ va a ser minimizado al $M(x)=(x,y)$, es decir, cuando se $M$ se encuentra directamente por encima de $C=(x,0)$. El uso de estos dos hechos, vemos que el punto de Fermat $M$ minimizar $d$ será la intersección de las dos líneas siguientes:

$$y=-\frac{x}{\sqrt{3}}+4\\y=\frac{x-6}{\sqrt{3}}+3$$

Esto es debido a que estas líneas pasan a través de los puntos conocidos $A$$B$, y cruzan entre sí y cualquier línea vertical en los ángulos agudos de $\frac{2\pi}{3}$. Su intersección se produce en $M=(3+\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{7}{2}-\sqrt{3})$. Por lo tanto $C=(3+\frac{\sqrt{3}}{2},0)$, y un cálculo muestra que la longitud mínima de la tubería requerida es entonces

$$d(3+\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{7}{2}+3\sqrt{3}$$

Aquí está una foto que ilustra nuestro triángulo, y las dos líneas anteriores, que se intersecan en el punto de Fermat:

$\hspace{1.75in}$

Este problema está relacionado con la Autopista problema, que puede ser resuelto mediante burbujas de jabón, como se discute en este entretenido vídeo.

Answer 2

Deje que las tuberías se $AM$, $BM$ y $MX$. Entonces la elección de $M$ $X$ son tales que $|AM|+|BM|+|MX|$ es mínimo. Así, por $M$ siendo la elección óptima, debe ser el punto de Fermat $ABX$, y desde $X$ es la opción óptima en el $x$-eje, $MX$ debe ser vertical. Así que, a continuación, obtenemos $\angle AMB = \angle BMX = \angle XMA = 120^\circ$ $M$ $X$ tienen el mismo $x$ coordinar. Esto es suficiente para encontrar los puntos de $M$$X$, como en la respuesta de Jared.