He comenzado a estudiar el análisis complejo y estoy tratando de calcular
$$ \int_{- \infty}^{\infty} \frac {\sin^3 x}{x^3} dx $$
con la "ayuda" de un exercisebook.
He seguido estos pasos:
$$\int_{- \infty}^{\infty}\left( \frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^3 \frac {1}{x^3} dx$$
$$\frac {1}{(2i)^3} \left(\int_{- \infty}^{\infty} \frac {e^{3ix}}{x^3} dx - \int_{- \infty}^{\infty} \frac {3e^{2ix}}{x^3}dx - \int_{- \infty}^{\infty} \frac {e^{-3ix}}{x^3}dx + \int_{- \infty}^{\infty} \frac {3e^{-2ix}}{x^3}dx\right)$$
El libro dice que
Si consideramos una curva de la ruta con el radio de $R\to \infty $ en la mitad superior del plano -, la primera y la segunda integrales son iguales a cero debido a que la curva cerrada que no contienen ninguna singularidad. Pero si tenemos en cuenta que la mitad inferior plano (y el correspondiente medio círculo impulsado las agujas del reloj), la ruta de acceso contiene la singularidad $x=0$.
Pero se me ha dicho que $x=0$ no es una singularidad punto porque $ \lim_{x \to 0} \frac {\sin x}{x}=1 $.
Ahora, yo no se entienda:
- Si $x=0$ es una singularidad y por qué
- ¿Por qué la mitad superior de plano no contiene la singularidad y la razón por la inferior.
Muchas gracias por tu ayuda
Leyendo los comentarios, me han hecho de este sketch
me puede decir si es correcto?
