Deje $\Omega\subseteq\mathbb R^n$ ser un almacén de dominio y $f\in L^\infty(\Omega)$. A partir de la cual el teorema de la existencia de $(f_k)_{k\in\mathbb N}\subseteq C^1(\overline\Omega)$ con $$f_k\stackrel{L^p(\Omega)}{\to}f$$ for some $p>n$ siga?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Conrado Costa
Puntos
3600
usted sólo necesita mostrar que las características de intervalos puede ser aproximado en $L^p$ norma, y luego extender este resultado arbitraria de conjuntos medibles (el uso de la regularidad de la medida de Lebesgue). Finalmente extender este resultado a funciones simples.
Este es también Lusin Teorema. Cuya idea principal es el uso de Urysohn funciones. Así que la respuesta a tu pregunta es ¿por qué a causa de la regularidad de la medida de lebesgue que se lea como sigue $$\forall \; C \subset \mathcal{B}(\Bbb{R}^n)\text{ and } \epsilon>0 \; \text{ there are $K_{\epsilon}$ compact and $A_\epsilon$ open such that } K_\epsilon\subset C \subset A_\epsilon\; \lambda(A_\epsilon \setminus K_\epsilon) <\epsilon$$
Esto es cierto para cualquier $p\in[1,\infty)$.
En primer lugar, desde $\Omega$ es acotado, $L^\infty(\Omega)\subset L^p(\Omega)$. Decir $\epsilon>0$. Elija $K\subset\Omega$ $K$ compacto, de modo que si $g=f\chi_K$ $$||f-g||_p<\epsilon.$$
Ahora si $\phi_n$ es un buen aproximado de identidad con soporte compacto, entonces la convolución $g*\phi_n$ es suave, $$||g-g*\phi_n||_p\to0,$$and if $n$ is large enough then $g*\phi_n$ is supported in a compact subset of $\Omega$.
