Demostrar que si y sólo si .

Question

Demostrar que $A \cup B = A \cap B$ si y sólo si $A=B$.

Mi método fue:

Debemos demostrar que dos implicaciones, así que vamos a proceder al probar la primera implicación. Vamos a hacer esto por probar el contrapositivo: Si $A \neq B$,$A \cup B \neq A\cap B$. Así, asumimos que $A \neq B$. Deje $k \in A$$k \notin B$. A continuación, $k$ $A \cup B$ e no $A \cap B$, e $A \cup B \neq A \cap B$. Por lo tanto, esta es la verdad por definición.

Desde $A = B$, para cada $k \in A$, $k$ es también en $B$. Por lo tanto $A \cup B = A=B$$A \cap B = A=B$. Por lo tanto, $A \cup B = A \cap B$.

Sé que estoy cerca en la primera parte de la prueba, pero no estoy seguro acerca de la segunda parte cuando intento probar la otra dirección.

Answer 1

Tenga en cuenta que$A\cap B\subseteq A,B\subseteq A\cup B$, por lo que la igualdad en los extremos da la igualdad en todo.

Answer 2

Asumiendo $A$ $B$ es no-vacío, en su primera parte está casi a la derecha.

Usted está asumiendo $A\neq B$ implica que su $k$ existe, pero no podría ser un $k$ tal que $k\in A$ pero $k\notin B$ (Por ejemplo si $A\subset B$). Así que, técnicamente $A\neq B$ implica dos casos: O $\exists \, k$ tal que $k\in A $ pero $k\notin B$ o $\exists \, k$ tal que $k \in B$ pero $k\notin A$. Usted necesita para comprobar ambos casos. Su lógica es correcta, aunque para el primer caso, y el otro caso es prácticamente idéntico.

Ahora para la segunda parte. Se está demostrando que la $A\cup B \neq A\cap B \Rightarrow A\neq B$. Ahora desde $A\cup B \neq A\cap B$, tenemos dos casos de nuevo. En primer lugar, asumir $x\in (A\cup B)$ pero $x \notin (A\cap B)$ y muestran que $A\neq B$. A continuación, supongamos $x\in (A\cap B)$ pero $x \notin (A\cup B)$ y muestran que $A\neq B$.

Answer 3

Prueba de esto $"\implies"$ dirección, es decir, vamos a demostrar que cuando se $A\cup B = A \cap B\implies A = B$. En realidad, con el fin de demostrar la igualdad, vamos a demostrar que $A\subseteq B $ $B \subseteq A.$

Deje $x \in A \implies x \in A\cup B \implies x \in A\cap B \implies x \in B\implies A\subseteq B.$

Deje $y \in B \implies y \in A \cup B \implies y \in A\cap B \implies y \in A\implies B\subseteq A.$

Por lo tanto, $A = B$.

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La otra dirección es directa, ya que: $$ A \cap B = A \cap A = A \text{ and } A\cup B = A\cup A = A.$$ Por lo tanto, $A\cup B = A \cap B$.

Answer 4

La primera parte es fácil, y más o menos como usted dijo:

Si $A=B$$A \cup B = A \cup A = A = A \cap A = A \cap B$.

Por el contrario, podemos evitar tratar con elementos o casos especiales, argumentando de la siguiente manera. Supongamos que $A \cup B = A \cap B$.

Como $A \subseteq A \cup B$$A \cap B \subseteq B$, esto significa que $$A \subseteq A \cup B = A \cap B \subseteq B$$ Del mismo modo, $B \subseteq A \cup B$$A \cap B \subseteq A$, por lo que $$B \subseteq A \cup B = A \cap B \subseteq A$$ Hemos demostrado que $A \subseteq B$$B \subseteq A$, lo $A = B$.

Answer 5

• de $A\neq B,$ se debe a la conclusión de $A\nsubseteq B,$ o $B\nsubseteq A.$, no se puede concluir sólo uno. Usted echa un caso; el otro es similar (Como en mi solución).
• (Por lo menos) Se debe agregar a esta declaración "Desde $A = B$, para cada $k \in A$, $k$ es también en $B$", esta: "y por cada $k \in B$, $k$ es también en $A$"

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Solución Simple. Similar a lo que he dicho aquí: (el medio $\subseteq$ ha cambiado a $=$)

$$A\subseteq A\cup B=A\cap B \subseteq B.$$
Del Mismo Modo $B\subseteq A.$ Por Lo Tanto $A=B$