Demuestre que$n^2 + n +1$ no es divisible entre$5$ para cualquier$n$

Question

Demuestre que$n^2 + n +1$ no es divisible entre$5$ para cualquier$n$.

Creo que esto podría intentarse utilizando un algoritmo de división o aritmética modular. No veo exactamente cómo empezar esto ... Por favor ayuda.

Answer 1

$5\nmid (n^2+n+1)$ para todos los enteros$n$. Porque$$n^2+n+1 \equiv (n+3)^2 + 2 \pmod 5$ $ Entonces, si$5\mid (n^2+n+1)$ para algunos$n$, entonces$n$ satisface$(n+3)^2 \equiv 3 \pmod 5$. Pero$3$ no es un residuo cuadrático módulo$5$. (Puede comprobar que$3$ no es un residuo cuadrático fácilmente).

Answer 2

es suficiente con buscarlo en$n\in\{0,1,2,3,4\}$: \begin{array}{c} n^2+n+1 & \equiv & \begin{Bmatrix} 0 + 0 + 1\\ 1 + 1 + 1\\ 4 + 2 + 1\\ 4 + 3 + 1\\ 1 + 4 + 1 \end {Bmatrix} & (\ operatorname {mod} 5) \\ & \ equiv & $n$ {Bmatrix} & (\ operatorname {mod} 5) \ end {array} donde cada entrada de 'vector' corresponde a una opción de% #% #% (sé que es descuidada pero tex me da dolor de cabeza)

Answer 3

Si no conoces la aritmética modular, también puedes mostrarla por inducción. Esto es similar a la solución de rschwieb:

1. Demuestre que si$n^2 + n + 1$ no es divisible por$5$, entonces también$(n+5)^2 + (n+5) + 1$ no es divisible por$5$.
2. Probar explícitamente los casos base:$n = 1, n=2, n=3, n=4, n=5$.
3. Por inducción, esto se mantiene para todos los$n$.

Answer 4

No es cierto:$1^2+1+1=3$ pero$5$ no divide$3$

Answer 5

en realidad nunca es divisible entre 5. Para probarlo, considere la posible clase a la que pertenece$n$, mod 5