$$ (2x-4y+6)dx+(x+4y-3)dy=0 $ $ Lo convertí a esta forma$ dy/dx = (2x-4y+6)/(x+4y-3) $ con la esperanza de poder usar$ z=y/x $ de sustitución para EDO homogéneas pero debido a las constantes 6 y 3 no puedo.
Respuestas
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Haz primero un cambio de variables:
PS
Entonces y $$ u = x + 1 \qquad v = y-1 $. Ahora
PS
y
PS
Así que en las nuevas variables estás resolviendo.
PS
o (fuera de la línea$\mathrm{d}u = \mathrm{d}x$)
PS
Luego puedes hacer la sustitución: escribe$\mathrm{d}v = \mathrm{d}y$ obtienes$$ 2u - 4v = 2x + 2 - 4y + 4 = 2x - 4y + 6$:
PS
Pedro Tamaroff
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Esta es una ODA que puede ser resuelto de la siguiente manera. Escribir
$$ (2x-4y+6)dx+(x+4y-3)dy=0 $$
como
$$\frac{-2x+4y-6}{x+4y-3} =\frac{dy}{dx}$$
Lo que necesitamos ahora es escribir la carta de colores RHS como
$$\frac{ax+by}{cx+dy} $$
por lo que se convierte en una masa homogénea.
Así que tenemos que encontrar $k$ $h$ tal que
$$-2(x_1+h)+4(y_1+k)-6=-2x_1 +4y_1$$
$$ (x_1+h)+4(y_1+k)-3 =x_1 +4y_1$$
Esto es, tenemos que
$$\eqalign{ & - 2h + 4k - 6 = 0 \cr & h + 4k - 3 = 0 \cr} $$
Esto le da,
$$\eqalign{ & h = - 1 \cr & k = 1 \cr} $$
Así tenemos
$$\frac{{ - 2{x_1} + 4{y_1}}}{{{x_1} + 4{y_1}}} = \frac{{d{y_1}}}{{d{x_1}}}$$
Pero esta ODA es homogéneo (como queríamos), así que podemos poner
$$\frac{{{y_1}}}{{{x_1}}} = v$$
y obtener
$$\frac{{ - 2 + 4v}}{{1 + 4v}} = v'{x_1} + v$$
Esto se traduce en un separables ODA,
$$\frac{{d{x_1}}}{{{x_1}}} = - \frac{{4v + 1}}{{4{v^2} - 3v + 2}}dv$$
Supongo que se puede tomar desde aquí.
NOTA: En general, la ecuación
$$\frac{{ax + by + c}}{{dx + ey + f}} = \frac{{dy}}{{dx}}$$
puede ser hecho homogénea mediante la resolución de
$$\eqalign{ y ah + bk + c = 0 \cr & dh + ek + f = 0 \cr} $$
y la sustitución de $X = x+h$, $Y=y+k$.
A su vez, la homogeneidad de la educación a distancia puede ser hecho separables por poner $\dfrac{Y}{X} = v$
