Encuentre el coeficiente de$x^{19}$ en la expresión$(x+1)(x+2)(x+3)\cdots (x+400)$
No tengo ni idea de cómo empezar. Cualquier tipo de ayuda será apreciada.
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Thomas Coats
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Si usted multiplicar todos los términos, usted obtendrá una suma. Pensar de cada término de esta suma como un $400$ carta de palabra larga, donde el $j$th carta es un $x$ o el número de $j$ ($1\leq j \leq 400)$. Por supuesto, usted puede simplificar esta expresión en la forma de $l \cdot x^k$ donde k y l es algunos números.
Ahora, por ejemplo, la única manera de conseguir $x^{400}$ de esta suma es elegir a $x$ de cada par de paréntesis para obtener el $xx...xx$ $400$ carta de palabra larga.
¿Cómo puedes conseguir una palabra que simplifica en forma de $l\cdot x^{19}$? Bueno, si usted elige $x$ exactamente $19$ términos y elegir los números de los otros $400-19$, obtendrá dicho término. Y no es difícil ver que esta es la única manera de hacerlo.
Entonces, ¿qué va a ser el coeficiente? Si se suman los coeficientes de todos los términos de la suma(es decir. de la forma $l\cdot x^{19})$, luego de recibir el siguiente: con $S=\{1,...,400\}$
$a_{19} = \sum_{I \subseteq S \text{ and } |I| = 19} \prod_{i \in S \setminus I}(i)$ Si usted multiplicar todos los términos, usted obtendrá una suma. Pensar de cada término de esta suma como un $400$ carta de palabra larga, donde el $j$th carta es un $x$ o el número de $j$ ($1\leq j \leq 400)$. Por supuesto, usted puede simplificar esta expresión en la forma de $l \cdot x^k$ donde k y l es algunos números.
Ahora, por ejemplo, la única manera de conseguir $x^{400}$ de esta suma es elegir a $x$ de cada par de paréntesis para obtener el $xx...xx$ $400$ carta de palabra larga.
¿Cómo puedes conseguir una palabra que simplifica en forma de $l\cdot x^{19}$? Bueno, si usted elige $x$ exactamente $19$ términos y elegir los números de los otros $400-19$, obtendrá dicho término. Y no es difícil ver que esta es la única manera de hacerlo.
Entonces, ¿qué va a ser el coeficiente? Si se suman los coeficientes de todos los términos de la suma(es decir. de la forma $l\cdot x^{19})$, luego de recibir el siguiente: con $S=\{1,...,400\}$
$a_{19} = \sum_{I \subseteq S \text{ and } |I| = 19} \prod_{i \in S \setminus I}(i)$
También tenga en cuenta que todos los números de esta suma son no negativos y el más pequeño de una es $381!$
Por lo que el coeficiente es al menos - y, de hecho, mucho más, que - $\binom{400}{19}381!$, por lo tanto, para todos los efectos es incomputable con la mano.
