Independencia lineal de valor desconocido.

Question

Chicos, me dan un conjunto de vectores$(v_1,\dots,v_{10}), \mathbb{R}^{10}, n=10$, que son linealmente independientes. No me da los valores de los vectores, pero me dice que averigüe si son independientes o no.

a. $v_1+v_2, v_2+v_3, v_3+v_4, v_4+v_1$

segundo. $v_1+v_2, 2(v_2+v_3), 3(v_3+v_4),..., 10(v_{10}+v_1)$

No estoy seguro de cómo resolver esto. Conozco la definición de independencia, pero tengo problemas para aplicarla.

Answer 1

Para un: Así que considerar: $$ a_1(v_1 + v_2) + a_2(v_2 + v_3) + a_3(v_3+v_4) + a_4(v_4 + v_1) = 0 . $$ Se puede demostrar a partir de esto que todas las $a_i$'s son cero? Consigue que este es $$ (a_1 + a_4)v_1 + (a_1 + a_2)v_2 + (a_2 + a_3)v_3 + (a_3 + a_4)v_4 = 0. $$

Así, desde la $v_i$'s son linealmente independientes, se obtiene $$ \begin{align} a_1 + a_4 &= 0 \\ a_1 + a_2 &= 0 \\ a_2 + a_3 &= 0 \\ a_3 + a_4 &= 0. \end{align} $$ ¿Esto implica que todas las $a_i$'s son cero? Este conjunto de ecuaciones tiene una solución si y sólo si la matriz $$ \pmatrix{1 & 0 & 0 &1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\} $$ es invertible. Es?

Para b: Tratar la misma cosa. Empezar con $$ a_1(v_1 + v_2) + a_22(v_2+ v_3) + \dots + a_{10}10(v_{10} + v_1) = 0. $$ De nuevo sólo ampliar el lado izquierdo y tratar de hacer como en la parte a.

Answer 2

Como$v_1+v_2 = (v_2+v_3)-(v_3+v_4)+(v_4+v_1)$ vemos que el vector$v_1+v_2$ es una combinación lineal de los otros$3$ vectores, por lo tanto,$v_1+v_2$ está en el intervalo$\{v_2+v_3,v_3+v_4,v_4+v_1\}$ y, por lo tanto, el conjunto en la parte a No puede ser lineal independiente. Puede adaptar este argumento para mostrar que, en la parte b,$v_1+v_2$ es una combinación lineal de$v_2+v_3, v_3+v_4, .., v_{10}+v_1$ que muestra que este conjunto tampoco es linealmente independiente.