¿Cuál es el momento de inercia de una isla de Gosper?

Question

Sabemos que hexágonos regulares puede embaldosar el plano, pero no en un auto-similar de la moda. Sin embargo, podemos construir un fractal conocido como un Gosper de la isla, que tiene la misma área de un hexágono, pero tiene la propiedad de que cuando está rodeado de 6 copias idénticas produce una forma similar, pero con las dimensiones de la escala por un factor de $\sqrt{7}$.

¿Cuál es la distancia entre dos de los centros? Es la misma que la distancia entre los hexágonos de la misma área? es decir. Si empiezo con un hexágono de la zona a, a continuación, construir un Gosper isla y colocarla junto a una copia idéntica, sería la distancia sigue a la misma como si fueran hexágonos? ¿O es que el factor de escala que entran en juego en algún lugar? Ahora mismo creo que la respuesta es $\sqrt{3}/2$, como para el hexágono.

La razón que pido es que estoy tratando de calcular la Gosper isla del momento de inercia a través de un eje a través de su centro de masa y perpendicular al plano de la isla.

Si asumimos que el momento de inercia es siempre proporcional a la masa, y proporcional al cuadrado de una longitud característica de la escala, entonces $$ I = \gamma Ml^2, $$ donde $\gamma$ es una constante, $l$ es el 'diámetro' de la isla, en un hexágono esta sería la distancia entre dos vértices opuestos. Reducir el Gosper isla por el factor de escala y la rodean por otros seis. Esta auto-similitud técnica es super lindo, y puede ser usada para calcular el momento de inercia de un triángulo equilátero, y se puede ampliar a un cuadrado/rectángulo con bastante facilidad. Los fractales, de tener un alto grado de auto-similitud, parecen susceptibles de esta técnica - aquí me calcular el momento de inercia para un copo de nieve de Koch.

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Usando el principio de superposición, $$ I = I_{\text{centro}} + 6I_{\text{borde}}, $$ donde $$ I_{\text{centro}} =\gamma \frac{M}{7}\left(\frac{l}{\sqrt{7}}\right)^2 = \gamma \frac{Ml^2}{49} = \frac{I}{49}. $$

Ahora, por el paralelo del eje teorema $\displaystyle I_{\text{edge}} = I_{\text{COM}} + Md^2$ donde $$ \displaystyle I_{\text{COM}} = \frac{I}{49} $$ y $\displaystyle d= \frac{\sqrt{3} l}{2} $ (esta fue una fuente de error), por lo que $\displaystyle I_{\text{edge}} = \frac{I}{49} + \frac{3Ml^2}{4},$ y \begin{align*} I &= \frac{I}{49} + 6\left(\frac{I}{49}+ \frac{3Ml^2}{4}\right), \\ I & = \frac{I}{7} + \frac{9Ml^2}{2}, \\ \frac{6I}{7} & = \frac{9Ml^2}{2}, \\ I & = \frac{21Ml^2}{4}. \end{align*}

Esto parece incorrecto? Se siente mal, en comparación con un disco de radio $l/2$ a que el momento de inercia de $Ml^2/4$ parece demasiado grande.

También sería bueno si pudiéramos verificar nuestra respuesta numérica o de otra manera. Todas las referencias son también apreciados.

Answer 1

Creo que su $\frac{\sqrt{3}}{2}$ de la distancia entre hexágonos centro no es correcta... La distancia de un hexágono en el centro de un borde es $\frac{r\sqrt{3}}{2}$, por lo tanto la distancia entre dos hexágonos de radio $\frac{l}{2\sqrt{7}}$ toque por un borde debe ser: $$d = l\sqrt{\frac{3}{28}}$$

Ahora, si tomamos de nuevo su cálculo: $I = \frac{I}{49} + 6 \left(\frac{I}{49} + \frac{3Ml^2}{28}\right)$

Esto nos da : $I = \frac{3}{4} M l^2$, que todavía puede no ser la respuesta correcta.

Sería bueno comparar este valor con métodos numéricos, voy a mirar en él.

e/ corrí algunas de simulación numérica, por desgracia, no parecen confirmar el resultado anterior.

El código.

Cómo lo hice:

• A partir de el código enlaza en esta página, me ha generado el todos los puntos que componen la forma exterior de la gosper de la isla.
• A continuación, he recortado la generación de puntos de eliminar los duplicados
• Yo aproximado de la gosper isla como forma de estrella (Esto no es absolutamente cierto, al menos para n=5). A continuación, su inercia es la suma de las inercias de los triángulos compuesto de origen y dos puntos consecutivos. Tenga en cuenta que para obtener la inercia real, uno tiene que dividir por la forma de la zona (Debido a la hora de evaluar el triángulo de la inercia, consideramos que tiene una de superficies, una masa de 1.). Todos triángulo relacionadas con las fórmulas están disponibles en Wolfram Alpha.

Los resultados muestran que, efectivamente, la inercia es proporcional a $l^2$, pero su relación con el valor de la conjetura anterior no es 1, sino una constante y estrecha a $\frac{4}{7}$: $$ I_{gosper} \approx 0.568582263418 \frac{3}{4} M l^2$$

Por desgracia, parece que este error no está relacionado con la forma de estrella de aproximación: me encontré otro experimento, esta vez utilizando la Seidel programa de la Universidad de Carolina del Norte en Chapel Hill. Esto me permitió encontrar una triangulación de la superficie interior de la Gosper de la isla. El uso de otro (similar) código pude comprobar que el cómputo de un radio de 1. ¿el rendimiento de la misma ración de espera entre la inercia (0.75) y la inercia real (0.42856647032), con una relación similar de 0.571421960426. Tenga en cuenta que esta inercia, está muy cerca de a $\frac{3}{7}$, (mejor fracciones de aproximación con un denominador inferior a quince mil).

En realidad, me había olvidado de que la característica de la dimensión no es el diámetro, pero la radio, por tanto la relación es 0.142855490107, muy cerca de la $\frac{1}{7}$.

El uso de este método para un copo de nieve de Koch rendimientos bastante correcta resultados: de un copo de nieve de radio $r \approx 1.44$ (se me olvidó a escala el tamaño de paso correctamente) me sale una inercia de $I_{koch} \approx 0.736036125705$, mientras que la dada por $Ml^2/11 \approx 0.7435999999999999$

e/ he encontrado el error: La masa de un "pequeño" gosper isla no es $M$, pero $\frac{M}{7}$, por lo tanto el factor que falta 7. Esto es debido al hecho de que hagamos la hipótesis de una densidad uniforme Gosper de la Isla, por lo que su masa es proporcional a su área.

Podemos reescribir nuestra ecuación original: $$ I_{borde} = I_{center} + \frac{M}{7}d^2\\ d = l \sqrt{\frac{3}{28}}$$

Lo que nos da: $$ I = \frac{I}{49} + 6 \left( \frac{I}{49} + \frac{3Ml^2}{7\cdot 28}\right)$$

Y por último:

$$I = \frac{3Ml^2}{28}$$

Answer 2

Sí, la distancia entre los hexagonal en formas como en una red hexagonal es la misma que la distancia entre los centros de los hexágonos de la misma área en una red hexagonal.

La razón es que "en el largo plazo" de la zona por la malla debe ser el mismo. Es decir, una lo suficientemente grande disco circular contiene Gosper islas y hexágonos en un número aproximadamente igual al área del disco dividied por el área de la forma (con un error del orden de magnitud proporcional a la cirumference del disco).

Answer 3

El área dentro del hexágono de toda la isla, y exactamente seis tercios, por simetría.

Por lo tanto, de una isla de la unidad de área, la distancia entre los centros es tal que

$$3\frac{\sqrt3}2d^2=3,$$

$$d=\sqrt{\frac2{\sqrt3}}.$$

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Para calcular el momento de inercia, vamos a trabajar con el radio de giro y de una isla de la unidad de área.

$$I=MR^2$$ where $M$ es la masa.

Para el montaje en la figura, la ampliación por el factor de $\sqrt7$ y usando el eje teorema,

$$7M7R^2=49I=I+6(I+Md^2),$$

dando

$$R=\frac d{\sqrt7}=\sqrt{\frac{2}{7\sqrt3}}=0.406149258\cdots$$

Esto se compara con el radio de giro de un área de la unidad de disco,

$$R'=\frac1{\sqrt{2\pi}}=0.398942280\cdots$$

y que de una unidad de área del hexágono,

$$R''=\sqrt{\frac{10}{36\sqrt3}}=0.400468569\cdots$$