Buscar soluciones reales a la ecuación .

Question

Encuentre todas las soluciones reales a la ecuación:$$4^x+6^{x^2}=5^x+5^{x^2}$ $

Obviamente$0$ y$1$ satisfacen esta ecuación, pero aquí$x$ es un número real, y no sé cómo hacer el siguiente paso, de hecho, supongo que esta ecuación no está en además de$0$ y$1$ que no sea la raíz. Pero ya sabes, necesito una prueba! ¿Alguien podría ayudarme? ¡Muchas gracias!

Answer 1

Para cualquier $x \in \mathbb{R}$, aplicar MVT a$t^{x^2}$$[5,6]$$t^x$$[4,5]$, nos encontramos con un par de números de $\xi \in (5,6)$ $\eta \in (4,5)$ (ambas dependientes $x$) tales que

$$6^{x^2} - 5^{x^2} = x^2 \xi^{x^2-1}\quad\text{ y }\quad 5^x - 4^x = x\eta^{x-1}$$ Esto implica $$ {\tt LHS}-{\tt RHS} = (4^{x} + 6^{x^2}) - (5^x + 5^{x^2}) = x^2\xi^{x^2-1} - x\eta^{x-1} $$

Hay 3 casos tenemos que estudiar:

• $x \in (1,\infty)$ - Tanto en $x^2 - 1$ $x - 1$ son positivos, tenemos $$\begin{align} x^2\xi^{x^2-1} & \ge x^2\inf\{ t^{x^2-1} : t \in (5,6) \} = x^2 \left(\inf\{ t : t \in (5,6)\}\right)^{x^2-1} = x^2 5^{x^2-1}\\ x\eta^{x-1} & \le x\sup\{ t^{x-1} : t \in (4,5)\} = x\left(\sup\{ t : t \in (4,5)\}\right)^{x-1} = x 5^{x-1} \end{align}\\ \implica {\tt LHS} - {\tt RHS} \ge x^2 5^{x^2-1} - x5^{x-1} = (\underbrace{x}_{> 1}\underbrace{5^{x^2-x}}_{>1} - 1)\underbrace{x5^{x-1}}_{>0} > 0$$

• $x \in (0,1)$ - Tanto en $x^2-1$ $x-1$ son negativos, tenemos

$$\begin{align} x^2\xi^{x^2-1} & \le x^2\sup\{ t^{x^2-1} : t \in (5,6) \} = x^2 \left(\inf\{ t : t \in (5,6)\}\right)^{x^2-1} = x^2 5^{x^2-1}\\ x\eta^{x-1} & \ge x\inf\{ t^{x-1} : t \in (4,5)\} = x\left(\sup\{ t : t \in (4,5)\}\right)^{x-1} = x 5^{x-1} \end{align}\\ \implica {\tt LHS} - {\tt RHS} \le x^2 5^{x^2-1} - x5^{x-1} = (\underbrace{x}_{< 1}\underbrace{5^{x^2-x}}_{<1} - 1)\underbrace{x5^{x-1}}_{>0} < 0$$

• $x \in (-\infty,0)$ - Hemos $$x^2 \xi^{x^2-1} > 0 \de la tierra x \eta^{x-1} < 0 \quad\implica\quad {\tt LHS} - {\tt RHS} = x^2\xi^{x^2-1} - x\eta^{x-1} > 0$$

Combinar estos 3 casos, tenemos ${\tt LHS} \ne {\tt RHS}$$x \in \mathbb{R} \setminus \{ 0, 1 \}$. Ya sabemos $0, 1$ son raíces de la ecuación en la mano, $0$ $1$ son todas las raíces reales de la ecuación.

Answer 2

Dejar $f(x)=4^x+6^{x^2}-5^x-5^{x^2}$.

$f'(x)=0$ para$x_1=0.7655...$ solo y$f$ es una función decreciente en$(-\infty,x_1]$,

$f$ es una función creciente en$[x_1,+\infty)$,

el cual dice que nuestra ecuación tiene dos raíces máximas y hemos terminado.

porque$0$ y$1$ son raíces.

Answer 3

insinuación

Reemplace$4=5-1$ y$6=5+1$.

Para ser eliminado.