$A=I-\frac{1}{n}J$ donde$I$ es una matriz de identidad$n\times n $,$J$ es una matriz$n\times n $ con todas las entradas como$1$

Question

Considere la posibilidad de $$A=I-\frac{1}{n}J$$ where $I$ is an $n\times n $ idenity matrix, $J$ is an $n\times n $ matrix with all entries as $1$.

Cuál de los siguientes NO es cierto?

• $A^k=A$ para cada entero positivo.
• Seguimiento de $A$ $n-1$
• $\text{Rank $()$+Rank $(I-A)$}=n$
• $A$ es invertible.

Mi primera preocupación fue la de la conclusión de la cuarta opción es falsa y que parece más natural para mí la conclusión de la cuarta es falso.

La razón es $I-\frac{1}{n}J$ es invertible iff $\frac{1}{n}J$ es nilpotent es decir, $J$ es nilpotent y estoy seguro de que con sólo mirar lo que $J$ nunca sería nilpotent.

Por eso, $A$ nunca iba a ser invertible.

Seguimiento de $A$ sólo $\text{ Trace of $$ - $\frac{1}{n}$Trace of $J$}=n-\frac{1}{n}(n)=n-1$

Considero $A^2=(I-\frac{1}{n}J)(I-\frac{1}{n}J)=I-\frac{1}{n}J-\frac{1}{n}J+\frac{1}{n^2}J^2$

Veo a $-\frac{1}{n}J+\frac{1}{n^2}J^2=0$ pero no estoy seguro de si esto implica $A^k=A$ todos los $k$.

No puedo decir nada sobre la tercera opción.

Podría alguno que me ayude a borrar este.

Gracias.

Answer 1

Una es el proyector ortogonal a lo largo de la dirección de todos los, $e=(1,1,...,1)$, $A=I-\frac{e\,e^T}{e^Te}$. La costumbre identidades para proyectores se aplican.

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La fila de la columna de producto $e\cdot e^T$ es simplemente la matriz donde cada entrada es $1$, por lo que es $J$. $e^Te=n$ debería ser obvio. La forma general de cualquier corank-1-proyector es $P=I-\frac{u\,v^T}{v^Tu}$. En el caso de $u=v$ esto le da un proyector ortogonal, en el caso de $u=v=e$ da la matriz $A$.

Ahora ya sabes las propiedades de los proyectores, esp. $P^2=P$, y que los proyectores ortogonales son, además, simétrica $P^T=P$, o tienes que demostrar que ellos en general o sólo para este ejemplo.