Límite proyectivo (o inverso) de C * -algebras

Question

(Creo que el término "límite inversa" se utiliza cuando el conjunto de índices es dirigido)

• Para empezar, me gustaría saber si proyectiva de los límites de la C*-álgebras (en la categoría de C*-álgebras) siempre existen, y si no, ¿cuáles son algunas de las condiciones suficientes para su existencia.

Un rápido vistazo a varios artículos en internet muestra que las personas que se han interesado en proyectivas de los límites de la C*-álgebras, pero dentro de las categorías de álgebras topológicas, por ejemplo, del Álgebra de operadores y sus Aplicaciones: Vol. 1, David E. Evans, Masamichi Takesaki p.130-131

• En ese fragmento, se dice que la costumbre de la construcción (que recuerdan la ecuación ($*$)) no ceder el proyectiva límite. Yo estaría muy interesado en saber por qué no funciona, lo que debe ser modificado para obtener el límite. (Con mi limitada experiencia de C*-álgebras, parece haber a menudo dificultades con la elección de una norma)

(Yo también agradecería la ayuda de las etiquetas si la pregunta es de interés también en otros campos)

Answer 1

La categoría de $C^*$-álgebras es completa. El límite de un diagrama de $(A_i,\lVert - \rVert)_{i \in I}$ $C^*$- álgebras tiene como subyacente $*$-algebra de $*$-subalgebra de la $*$-álgebra $\prod_{i \in I} A_i$ cuyos elementos $x=(x_i)_{i \in I}$ está sujeto a las dos condiciones: en Primer lugar, la habitual condición correspondiente: Para los bordes de $i \to j$ el mapa de $A_i \to A_j$ mapa de $x_i$$x_j$. En segundo lugar, un acotamiento condición: El conjunto de $\{\lVert x_i \rVert : i \in I\}$ está acotada. A continuación definimos $\lVert x \rVert := \sup_{i \in I} \lVert x_i \rVert$. Es directa para comprobar que esta es una $C^*$-norma. La única que no sea trivial hecho es que la norma es completa. Pero usted puede simplemente copiar la prueba usual de que $\ell^{\infty}$ es completa. También es fácil comprobar la universal de los bienes, utilizando el hecho de que $*$-homomorphisms entre el $C^*$-álgebras son de norma $\leq 1$.

Answer 2

La categoría de $C^*$-álgebras es completa, como el de Martin de Brandenburgo, explicó. Sin embargo, dada una función inversa de sistema de $C^*$-álgebras, a menudo es más conveniente considerar su límite en la categoría de todos los topológico $*$-álgebras. El límite de un diagrama de $(A_i,\lVert - \rVert)_{i \in I}$ $C^*$- álgebras es entonces la topológico $*$-subalgebra de la topológico $*$-álgebra $\prod_{i \in I} A_i$ (en el producto de la topología) cuyos elementos $x=(x_i)_{i \in I}$ están sujetos sólo a la habitual condición correspondiente, pero no el acotamiento de la condición. Consulte el siguiente documento:

http://jot.theta.ro/jot/archive/1988-019-001/1988-019-001-010.pdf

para obtener más detalles.