¿Cómo mostrar que la secuencia$x_n = (1 + \frac{x}{n})^{n}$ está delimitada arriba por$e^x$?

Question

Cómo mostrar la secuencia de $x_n = (1 + \frac{x}{n})^{n}$ está acotada arriba por $e^x$?

Nota: yo no debería ser capaz de utilizar cualquiera de las técnicas de diferenciación, si es posible. Desde que techincally "no sé".

Como puede deducirse estoy tratando de mostrar que la secuencia de $x_n = (1 + \frac{x}{n})^{n}$ es convergente. He llegado a esta conclusión utilizando el teorema de convergencia monótona. Así que nos son dadas por la definición que $$e^{x} = \lim_{n \rightarrow \infty} \Bigg(1 + \frac{x}{n} \Bigg)^{n}$$

Creo que me di cuenta de cómo mostrar la secuencia es montonically en aumento. Mi problema es que demuestra que es acotada. Así que una idea que yo pensé en intentar aplicar estaba usando el teorema del binomio:

$$\Bigg(1 + \frac{x}{n}\Bigg)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} \bigg(\frac{x}{n}\Bigg)^{k}$$ and then since this would be some sort of finite quantity, I would compare it to $e^x$:

$$\Bigg(1 + \frac{x}{n}\Bigg)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} \bigg(\frac{x}{n}\Bigg)^{k} < e^{x} = \lim_{n \rightarrow \infty} \Bigg(1 + \frac{x}{n} \Bigg)^{n} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots $$

Pero me parece que no puede conseguir lo finito binomio de expansión de la misma forma.

Preguntas:

1) este Es un enfoque correcto ?

2) Si es que ¿cómo puedo reescribir el binomio de expansión para trabajar en mi favor ?

Answer 1

El resultado no es verdadero para $x<0$ . Un mejor enfoque para $x >0$ : si $x >0$ el $(1+\frac x n)^{n}=e^{n\log (1+x/n)}\leq e^{n\frac x n}=e^{x}$ donde he usado la desigualdad $\log(1+y) \leq y$ para todos $y >0$ .

Answer 2

Sugerencia: si $t>0$ entonces $$\log(1+t)=\int_1^{1+t}\frac{ds}s<\int_1^{1+t}ds=t.$ $

Answer 3

Para $x\ge 0 $ , $(1+\frac{x}{n})^n=1+x+\frac{n(n-1)x^2}{2n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)x^3}{6n^3}+...\lt 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+...=e^x$ Por lo tanto, el término está delimitado y aumenta con $n$

Esencialmente tienes $\frac{\binom{n}{k}}{n^k}\le \frac{1}{k!}$

Answer 4

Con el método de cálculo y elemental, es por MVT para $y=\ln(1+t)$% $$\ln(1+a)-ln(a)=\dfrac{1}{\xi}$$ donde $a<\xi<a+1$ que muestra $$\ln(1+\dfrac1a)=\dfrac{1}{\xi}<\dfrac{1}{a}$ $ o $\left(1+\dfrac1a\right)^a<e$ ahora deja $a=\dfrac{n}{x}$ .

Answer 5

Si $x>0$ , cómo $$\Bigg(1 + \frac{x}{n}\Bigg)^{n} = \sum_{i = 0}^{n} \binom{n}{i} \bigg(\frac{x}{n}\bigg)^{i}$$ then if $ i = k$, the $ k-th $ term en esta serie es:

$$ \binom{n}{k} \bigg(\frac{x}{n}\bigg)^{k}=\frac{x^k}{k!}\cdot\frac{n!}{(n-k)!n^k}$$ Note that $$\frac{n!}{(n-k)!n^k}\leq1$ $ por lo tanto $$ \binom{n}{k} \bigg(\frac{x}{n}\bigg)^{k}=\frac{x^k}{k!}\cdot\frac{n!}{(n-k)!n^k}\leq \frac{x^k}{k!}$ $