Cómo usar el lema de Yoneda para demostrar:$F$ completamente fiel si la unidad es un isomorfismo

Question

Deje $F \dashv G$ ser una contigüidad con la unidad de $e: Id \implies GF$.

Es bien sabido que $e$ es un isomorfismo si y sólo $F$ es totalmente fiel. Tengo una prueba de este hecho que no uso Yoneda del lexema en cualquier forma explícita.

Aquí: Vamos a $C,D$ categorías y $F:C\to D$ $G:D\to C$ ser adjoint functors. A continuación, $F$ es totalmente fiel iff la unidad es un isomorfismo? se menciona que el uso de la Yoneda lexema puede resolver esta cuestión de forma casi directa. ¿Puede explicar cómo?

Por ejemplo, incluso en la dirección $e$ es un isomorfismo implica $F$ es totalmente fiel, la única manera que veo para el uso de la Yoneda lema no acortar mi prueba directa.

En el otro sentido no estoy completamente seguro de cómo utilizar de forma explícita.

Mediante el uso de Yoneda del lexema me refiero a utilizar:

1. El Yoneda functor $Y$ es totalmente fe

2. Hay un isomorfismo entre la Diversión$(Y(x), F)$ e $F(x)$ donde $F$ es un presheaf

¿Cómo puede el Yoneda lema ser utilizado para probar esta afirmación fácilmente?

Answer 1

Tenemos $$\mathsf{Hom}(A,B)\stackrel{\eta_B\circ-}{\to}\mathsf{Hom}(A,GFB)\stackrel{\varphi_{A,FB}}{\cong}\mathsf{Hom}(FA,FB)$$ natural in $Un$ and $B$ with $\eta$ being the unit. This would immediately make fullness and faithfulness of $F$ be equivalent to $\eta$ being an isomorphism (via Yoneda) as long as we can show that $Ff=\varphi(\eta\circ f)$. Specifically, we'd have $$\mathsf{Hom}(A,B)\stackrel{F}{\cong}\mathsf{Hom}(FA,FB)\stackrel{\varphi^{-1}_{A,FB}}{\cong}\mathsf{Hom}(A,GFB)$$ is equal to $$\mathsf{Hom}(A,B)\stackrel{\eta_B\circ-}{\to}\mathsf{Hom}(A,GFB)$$ meaning it's an isomorphism and Yoneda (like all fully faithful functors) reflects isomorphisms. The other direction is obvious: $F$ sería una composición de isomorphisms.

La necesaria igualdad es inmediata por connaturalidad de $\varphi$ ( $A$ anterior) que nos permite reducir a $Fid=id=\varphi(\eta)$ y, de hecho, $\eta$ se define como (o seguramente equivalente) como $\varphi^{-1}(id)$. (En los casos en $\eta$ es primitiva y, a continuación, la definición de $\varphi$ y su inversa hará la ecuación anterior bastante obvio.)