Estoy estudiando para un examen de calificación en el álgebra y me he encontrado con el siguiente problema:
Deje $G$ ser un grupo finito con un subgrupo $N$. Deje $Aut(G)$ el grupo de automorfismos de a$G$. Probar que si $|Aut(G)|$ e $|N|$ son relativamente primos, a continuación, $N$ está contenida en el centro de la $G$.
Yo estoy luchando para encontrar una buena manera de acercarse a este. Soy capaz de demostrar un resultado similar que si $|G|$ e $|Aut(G)|$ son relativamente primos, a continuación, $G$ es abelian:
Deje $\theta$ ser un homomorphism de $G$ para el interior automorphism grupo de $G$, denotado $\theta:G\rightarrow Inn(G)$. Entonces porque el interior de automorfismos son conjugaciones por elementos fijos, el núcleo de $\theta$ es el centro de la $G$, denotado $ker(\theta)=Z(G)$. Por el primer teorema de isomorfismo, se deduce que el $G/Z(G)\cong Inn(G)\subseteq Aut(G)$. Por lo tanto, del teorema de Lagrange, $|G/Z(G)|$ divide $|Aut(G)|$. Del mismo modo, por consecuencia del teorema de Lagrange, $|G/Z(G)||Z|=|G|$, $Z(G)$ es un subgrupo normal de $G$. Desde $|G/Z(G)|$ divide $|G|$ e $|Aut(G)|$, e $|G|$ e $|Aut(G)|$ son relativamente primos, se deduce que el $|G/Z(G)|=1$, lo que implica que $G=Z(G)$. El resultado deseado de la siguiente manera. $\blacksquare$
No es obvio para mí cómo transformar esta prueba en uno de los deseados problema (o si incluso es una buena manera de simplemente modificar lo que ya tengo). Si yo sabía que $N$ eran un subgrupo normal, yo podría aplicarse el mismo tipo de argumento el uso del teorema de Lagrange, pero no tengo esa suposición. Sin más información sobre la estructura de $G$, no parece probable que voy a ser capaz de utilizar un elemento argumento para demostrar que $N\subseteq Z(G)$.
