¿Cuántas soluciones hay para $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 15$

Question

¿Cuántas soluciones hay para (Creo que se refieren a soluciones enteras no negativas) $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 15$

donde

$1\leq x_{1} \leq 4$

$2 \leq x_{2} \leq 5$

$7\leq x_{3}$

$2\leq x_{4}$

Mi "solución" Yo utilizo el método que se muestra en este vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=Y0CYHMqomgI&list=PLDDGPdw7e6Aj0amDsYInT_8p6xTSTGEi2&index=7

$$N(\overline{C_{1}}\overline{C_{2}}\overline{C_{3}}\overline{C_{4}}) = $$

$$ N - (N_{C1}+N_{C2}+N_{C3}+N_{C4}) + N_{C1C2}+ N_{C1C3}+ N_{C1C4}+ N_{C2C3}+ N_{C2C4}+N_{C3C4} - N_{C1C2C3} - N_{C1C2C4} - N_{C1C3C4} - N_{C2C3C4} + N_{C1C2C3C4}$$

$$N=\binom{18}{15}$$

Ahora esta parte (encontrar NC1) no estoy seguro. cuando $$1\leq x_{1} \leq 4$$ $$N_{C1}$$ $$x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 15$$ $$1\leq x_{1} \leq 4$$

$$ x_{1}{}' + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 15 -4 = 11$$ $$x_{1}{}' \geq 0$$

$$N_{C1} =\binom{14}{11}$$

¿Es esta la forma correcta de encontrar $$N_{C1} $$ ?

Answer 1

Sustituyendo $$\begin{cases} y_1=x_1-1\\ y_2=x_2-2\\ y_3=x_3-7\\ y_4=x_4-2 \end{cases}$$ su problema se convierte en equivalente a encontrar $y_1,\ldots,y_4$ Satisfaciendo a $$\begin{split}0&\leq y_1\leq 3,\\0&\leq y_2\leq 3,\\0&\leq y_3,\\0&\leq y_4\end{split}$$ y $$y_1+y_2+y_3+y_4=3.$$ La solución a esto son $$y=(y_1,\ldots,y_4)=(3,0,0,0)$$ (y otras permutaciones, que hacen un total de $4$ ), $$y=(2,1,0,0)$$ (y otras permutaciones, que hacen un total de $4!/2!=12$ ), y $$y=(1,1,1,0)$$ (y otras permutaciones, que conforman $4$ ). El número de soluciones es entonces $$4+12+4=20.$$

Answer 2

Escriba $y_1=x_1-1$ , $y_2=x_2-2$ , $y_3-7$ y $y_4-2$ entonces $y_i \geq 0$ , $y_1,y_2\leq 3$ y $$y_1+y_2+y_3+y_4 = 3$$

Pero entonces $y_3$ y $y_4$ no puede ser 4 o más. Así que $y_1,y_2\leq 3$ no es una restricción real en este caso. Por el método de las estrellas y las barras tenemos $${6\choose 3}=20$$ solución.

Answer 3

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} &\bbox[10px,#ffd]{\sum_{x_{1} = 1}^{4}\sum_{x_{2} = 2}^{5} \sum_{x_{3} = 7}^{\infty}\sum_{x_{4} = 2}^{\infty} \bracks{z^{15}}z^{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}}} \\[5mm] = &\ \sum_{x_{1} = 0}^{3}\sum_{x_{2} = 0}^{3} \sum_{x_{3} = 0}^{\infty}\sum_{x_{4} = 0}^{\infty} \bracks{z^{15}}z^{\pars{x_{1} + 1} + \pars{x_{2} + 2} + \pars{x_{3} + 7} + \pars{x_{4} + 2}} \\[5mm] = &\ \bracks{z^{3}}\sum_{x_{1} = 0}^{3}z^{x_{1}} \sum_{x_{2} = 0}^{3}z^{x_{2}} \sum_{x_{3} = 0}^{\infty}z^{x_{3}}\sum_{x_{4} = 0}^{\infty}z^{x_{4}} = \bracks{z^{3}}\pars{z^{4} - 1 \over z - 1}^{2} \pars{1 \over 1 - z}^{2} \\[5mm] = &\ \bracks{z^{3}}\pars{1 - z}^{-4} = {-4 \choose 3}\pars{-1}^{3} = -{-\pars{-4} + 3 - 1 \choose 3}\pars{-1}^{3} \\[5mm] = &\ {6 \choose 3} = \bbx{20} \end{align}