¿Cuándo se ramifica violentamente$\mathfrak{P}$?

Question

Deje $K \supset k,$ deje $\mathfrak{P}$ ser un alojamiento ideal en $K$ y dejar p ser el primer ideal de $k$ divisible por $\mathfrak{P}$ . Mostrar que $\mathfrak{P}$ es muy ramificado, si y sólo si $\operatorname{Tr}_{K_{\mathfrak{P}} / k_{\mathfrak{p}}} \alpha$ está en $\mathfrak{p}_{\mathfrak{p}}$ por cada $\alpha$en $\mathfrak{O}_{\mathfrak{P}}$.

Creo que puedo usar la proposición $\mathfrak{P}^{e} | \mathfrak{d}_{K / k}$ si y sólo si $\mathfrak{p} | e$, pero no tengo idea de qué hacer a continuación.

Answer 1

Abrevie $\mathfrak{p}_\mathfrak{p}$ como $\mathfrak{p}$ y $\mathfrak{d}$ como diferente. $$\text{Tr}_{K_{\mathfrak{P}} / k_{\mathfrak{p}}} \mathcal{O}_{\mathfrak{P}} \subset \mathfrak{p} \iff \text{Tr}_{K_{\mathfrak{P}} / k_{\mathfrak{p}}} (\mathfrak{p}^{-1}\mathcal{O}_{\mathfrak{P}}) \subset \mathcal{O}_\mathfrak{P} \iff \mathfrak{p}^{-1}\subset \mathfrak{d}^{-1} \iff \mathfrak{d}\subset \mathfrak{p}=\mathfrak{P}^e$ $ if y solo $\mathfrak{P}^e \mid \mathfrak{d}$ , que es equivalente a la ramificación salvaje.