¿Es discontinua la composición de una función continua sobreyectiva con una función discontinua?

Question

Dejemos que $I_1,I_2,I_3$ sean intervalos $\subset \mathbb{R}$ . Supongamos que $f:I_1 \to I_2$ es una función continua suryente y $g: I_2 \to I_3$ es una función discontinua. ¿Debe la composición $g \circ f$ ser discontinuo?

Hay algunos contraejemplos fáciles si $f$ no se supone que sea sobreyectiva, por ejemplo, tomando $f$ sea una función constante, o de forma que "esquive" el punto o puntos discontinuos de $g$ .

Sin embargo, si tal "evasión" está prohibida, no consigo construir tales funciones ni encontrar una respuesta a partir de muchas preguntas similares en este sitio. Así que me interesa saber si existen contraejemplos. Si no es así, ¿hay alguna prueba? ¿Tiene algo que ver con el teorema del valor intermedio?

Answer 1

Si $g$ es discontinuo en $x=a$ entonces $gf$ no puede ser continua. Supongamos que $gf$ es continua. Para cualquier secuencia $\{x_n\}\in I_2, x_n\to a$ debido a la subjetividad de $f$ , $\exists \{y_n\}\in I_1, f(y_n)=x_n,\forall n$ .

$y_n\in I_2$ que es compacto, por lo que debe haber una sub-secuencia $y_{n_k}$ que converge. Sea $\lim_{k\to \infty}y_{n_k}=L$ .

Desde $f$ es continua, $f(L)=\lim_{k\to \infty} f(y_{n_k})=\lim_{k\to \infty}x_{n_k}=\lim x_n=a$ . También, $gf(L)=g(a)$ .

Así que, $\lim g(x_n)=\lim gf(y_{n_k})=gf(L)=g(a)$ gracias a la continuidad de $gf$ .

El resultado es que establecemos la continuidad de $g$ de la continuidad de $f$ y $gf$ . Así que $gf$ no puede ser continua.

Answer 2

Aquí hay una prueba sin compacidad de los intervalos.

Supongamos que $f$ y $g\circ f$ son continuos, $f$ es sobreyectiva. Quiero demostrar que $g$ es continua.

Toma $x\in I_2$ y una secuencia $(x_n)$ en $I_2$ con $x_n\to x$ . Desde $I_2$ es un intervalo, hay $x'<x''$ en $I_2$ tal que $x\in [x',x'']\subset I_2$ y $x_n\in[x',x'']$ para todos $n$ . (Si esto no fuera posible, entonces $I_2$ sería un singleton).

Desde $f$ es suryente, hay $y,y',y''$ en $I_1$ tal que $f(y)=x$ , $f(y')=x''$ , $f(y'')=x''$ . Definir el intervalo $J:=[\min(y,y',y''),\ \max(y,y',y'')]$ . Debido al teorema del valor intermedio $f(J) \supset [x',x'']$ .

Ahora, por cada $n$ hay $y_n\in J$ con $f(y_n)=x_n$ . Desde $J$ es compacto, existe una subsecuencia convergente $(y_{n_k})$ con límite $z$ . Por continuidad de $f$ , $f(z)=x$ . Entonces, por continuidad de $g\circ f$ $$ g(x_{n_k}) = g(f(y_{n_k})) \to g(f(z)) = g(x). $$ Ahora, podemos repetir este argumento para cada subsecuencia de $(x_n)$ . El límite $g(x)$ no depende de la subsecuencia elegida, por lo que $g(x_n)\to g(x)$ y $g$ es continua.

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¿Se puede generalizar esta prueba a dimensiones superiores?

Answer 3

Dado que $g$ es discontinuo existe $x_0 \in I_2$ y una secuencia $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq I_2$ tal que $\lim\limits_{n \to \infty}x_n = x_0$ y $g(x_0) \neq \lim\limits_{n \to \infty}g(x_n)$ . Ahora dejemos que $y_0 \in f^{-1}(x_0)$ y para cualquier $n \in \mathbb{N}$ dejar $y_n \in f^{-1}(x_n)$ se le dé. Se trata de \begin {align*} (g \circ f)(y) = g(x_0) \neq \lim\limits_ {n \to \infty } g(x_n) = \lim\limits_ {n \to \infty } (g \circ f)(y_n). \end {align*} Por lo tanto, hemos demostrado que $g\circ f$ es discontinuo en $y$ .