Mostrar $ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{nx}{n^3 + x^3}$ , $\ g(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^4n}{(n^3 + x^3)^2}$ están acotados en $[0, \infty)$ .

Question

Si $f(x), g(x)$ se definen de la siguiente manera $[0 , \infty)$ , $$\tag 1 f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{nx}{n^3 + x^3}$$

$$\tag 2 g(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^4n}{(n^3 + x^3)^2}.$$ . Entonces, ¿cómo demostrar que $f,g$ son funciones acotadas en $[0 , \infty)$ ?

Encontré este problema en este [Es $f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{nx^2}{n^3+x^3}$ uniformemente continua en $[0,\infty)$ ?](https://math.stackexchange.com/questions/1844169/is-fx-sum-n-1-infty-fracnx2n3x3-uniformly-continuous-on-0-inf) .

En los últimos pasos de la solución, no sé por qué esta es la respuesta correcta.

¿Podría explicarlo para que me explique?

Gracias.

Answer 1

En primer lugar, hay que tener en cuenta que para $x \ge 0$ y $n \in \Bbb N$ $$ \frac{x^4n}{(n^3 + x^3)^2} =\frac{x^3}{n^3+x^3}\cdot\frac{nx}{n^3 + x^3} < \frac{nx}{n^3 + x^3} $$ y por lo tanto $g(x) \le f(x)$ por lo que basta con demostrar que la función $f$ está acotado en $[0, \infty)$ .

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Para $0 \le x \le 1$ tenemos $$ \frac{nx}{n^3 + x^3} \le \frac{1}{n^2} \implies f(x) \le \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} . $$

Para los fijos $x >1$ y $m =1, 2, 3, \ldots$ considerar todo $n$ con $x(m-1) \le n < xm$ . Para cada uno de estos $n$ , $$ \frac{nx}{n^3 + x^3} \le \frac{mx^2}{(m-1)^3x^3 + x^3} = \frac 1x \cdot \frac{m}{(m-1)^3+1} $$ y hay como máximo $\lfloor x \rfloor +1$ de tal $n$ . Por lo tanto, $$ f(x) \le \frac{\lfloor x \rfloor +1}{x} \sum_{m=1}^\infty \frac{m}{(m-1)^3+1} \le 2 \sum_{m=1}^\infty \frac{m}{(m-1)^3+1} $$ para $x > 1$ .

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Solución anterior (más complicada) : La idea de estimar $f(x)$ es sustituir la suma infinita por una integral "similar": $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{nx}{n^3+x^3} \lessapprox \int_0^\infty \frac{ux}{u^3+x^3} \, dx = \int_0^\infty \frac{v}{v^3+1} \, . $$ Las dos integrales son iguales mediante la sustitución $u=xv$ y la última integral es independiente de $x$ para que obtengamos un límite superior uniforme. Por supuesto, la "desigualdad aproximada" debe ser declarada y demostrada con precisión, así que aquí están los detalles sangrientos:

Para los fijos $x>0$ consideramos la función $\varphi$ definido en $[0, \infty)$ por $$ \varphi(t) = \frac{tx}{t^3 + x^3} \,. $$ Es fácil ver (calculando la derivada) que $\varphi $ está aumentando en $[0, \frac{x}{2^{1/3}}]$ y disminuyendo en $[\frac{x}{2^{1/3}}, \infty)$ .

Si $\frac{x}{2^{1/3}} \le 1$ entonces $\varphi$ es decreciente en $[1, \infty)$ para que cada término de la suma de $f(x)$ (con la excepción del primer término) puede estimarse por encima mediante una integral sobre $\varphi$ : $$ f(x) = \varphi(1) + \sum_{n=2}^\infty \varphi(n) \\ \le \varphi(1) + \sum_{n=2}^\infty \int_{n-1}^n \varphi(u) \, du = \varphi(1) + \int_1^\infty \varphi(t) \, dt \le 1 + \int_0^\infty \frac{ux}{u^3+x^3} \, du \, $$ y con la sustitución $u = xv$ obtenemos $$ \tag{*} f(x) \le 1 + \int_1^\infty \frac{v}{v^3+1} \, dv \, . $$

Si $\frac{x}{2^{1/3}} > 1$ entonces podemos proceder de manera similar. Con $m = \lfloor \frac{x}{2^{1/3}} \rfloor$ estimamos que $$ f(x) = \sum_{n=1}^{m-1} \varphi(n) + \varphi(m) + \varphi(m+1) + \sum_{n=m+2}^{\infty} \varphi(n) \\ \le \int_0^\frac{x}{2^{1/3}} \varphi(u) \, du + 2 \varphi(\frac{x}{2^{1/3}}) + \int_\frac{x}{2^{1/3}}^\infty \varphi(u) \, du \\ = \frac{4}{ 2^{1/3} \cdot 3x} + \int_0^\infty \frac{ux}{u^3+x^3} \, du \\ < 1 + \int_0^\infty \frac{ux}{u^3+x^3} \, du = 1 + \int_0^\infty \frac{v}{v^3+1} \, dv $$ para que $(*)$ también se mantiene.

Answer 2

Una prueba sencilla:

Claramente: $$ n^3+x^3\ge \frac{1}{4}(n+x)^3 \tag{1} $$ y por lo tanto $$ 0\le \frac{nx}{n^3+x^3} \le \frac{4nx}{(n+x)^3}\le\frac{4(n+x)x}{(n+x)^3}=\frac{4x}{(n+x)^2}. $$ Por lo tanto, $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{nx}{n^3+x^3}\le \sum_{n=1}^\infty\frac{4x}{(n+x)^2}=\frac{4x}{(1+x)^2}+\sum_{n=2}^\infty\frac{4x}{(n+x)^2}\le \frac{4x}{(1+x)^2}+\int_1^\infty \frac{4x\,ds}{(s+x)^2} \tag{2}\\= \frac{4x}{(1+x)^2}+\frac{4x}{(1+x)}. $$

Mientras tanto, $$ \frac{x^4n}{(x^3+n^3)^2}=\frac{nx}{n^3+x^3}\cdot\frac{x^3}{x^3+n^3}\le \frac{nx}{n^3+x^3}. $$ Notas. Desigualdad $(1)$ se mantiene ya que $$ 4(n^3+x^3)=4(n+x)(n^2-nx+x^2)=(n+x)(4n^2-4nx+4x^2) =(n+x)(n^2+2nx+x^2+3n^2-6nx+3x^2)=(n+x)^3+3(n+x)(n-x)^2\ge(n+x)^3. $$ La última desigualdad en $(2)$ se mantiene ya que si $f: [1,\infty)\to (0,\infty)$ es decreciente, entonces $\sum_{n=2}^\infty f(n)\le \int_1^\infty f(x)\,dx.$

Answer 3

Esto es lo que comúnmente se conoce como Notación Big O significa básicamente que, asimétricamente, la función se comporta como $\frac{1}{x}$ para x grande, en este ejemplo concreto se utiliza para denotar que $x \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^3 + x^3}$ converge a algún número finito, por lo que está acotado para todo $x \in [0, \infty)$ , lo mismo para las otras series y $O\left(\frac{1}{x^4}\right)$ .