Anillo de enteros para$\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$

Question

Estoy bastante seguro de que esto es una cosa muy básica, pero mi formación es en la física, y nunca he hecho previamente cualquier teoría de números.

Tenemos como un teorema que para algebraica de campo de número de $K$, $\alpha \in K$ es un entero algebraico si y sólo si su polinomio mínimo en $\mathbb{Q}$ ha coeficientes en $\mathbb{Z}$. El polinomio mínimo de a$\alpha = a + b \sqrt{d}$ en el campo de $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ es entonces:

$$ (X - (a + b \sqrt{d}))(X - (a - b\sqrt{d})) = X^{2} - 2aX + (a^{2} - b^{2}d) $$

Por lo tanto, $\alpha$ es un entero algebraico $\iff 2a \in \mathbb{Z}, a^{2}-b^{2}d \in \mathbb{Z}$.

Bien, pero ¿por qué es esta afirmación verdadera?

$$ d = 2,3 \; \bmod \; 4 \implica \mathscr{O}_{\mathbb{Q}[\sqrt{d}]} = \mathbb{Z}[\sqrt{d}] $$ $$ d= 1\; \bmod \; 4 \implica \mathscr{O}_{\mathbb{Q}[\sqrt{d}]} = \mathbb{Z} \bigg[\frac{1+\sqrt{d}}{2}\bigg]$$

Es que esto de alguna manera relacionados con la escuela primaria, el teorema sobre la suma de dos cuadrados es un número entero?

Answer 1

Tienes $n=2a \in\Bbb Z$ e $a^2-db^2\in \Bbb Z.$ Estos implican $m=2b\in\mathbb Z$ e $n^2-dm^2\in\Bbb Z.$ $n^2$ e $m^2\equiv 0$ o $1\pmod4$. Si $n^2\equiv dm^2\pmod4$ e $d\equiv2 $ o $3\pmod4$, la única solución es $n^2\equiv m^2\equiv0\pmod4$ lo $n\equiv m\equiv 0\pmod2$ lo $a, b \in\Bbb Z$. Si $d\equiv1\pmod4$ también está la solución de $n^2\equiv m^2\equiv1\pmod4$, en cuyo caso $a$ e $b$ son de la mitad de enteros impares.

Answer 2

Sí, es relacionados con el resultado. Si $a$ e $b$ son ambos números racionales (no necesariamente enteros), y $d$ es un número entero, entonces $a^2 - db^2$ está seguro de ser racional, pero puede o no puede ser un número entero.

Si $a$ e $b$ son las dos mitades de números enteros impares (llamarlos $\alpha$ e $\beta$), y $d \equiv 1 \pmod 4$, va a suceder que $$a^2 = \left(\frac{\alpha}{2}\right)^2 = \frac{\alpha^2}{4}$$ with $\alpha^2 \equiv 1 \pmod 4$, and likewise $$b^2 = \left(\frac{\beta}{2}\right)^2 = \frac{\beta^2}{4}$$ with $\beta^2 \equiv 1 \pmod 4$. Since $d \equiv 1 \pmod 4$ as well, we then have $$a^2 - db^2 = \frac{\alpha^2}{4} - \frac{d \beta^2}{4},$$ from which it obviously follows that $\alpha^2 - d \beta^2$ es múltiplo de 4.

A menudo ayuda a trabajar estas cosas con ejemplos concretos. Ya que mencionas a una física fondo, voy a asumir que usted está bien versado en la aritmética de los números complejos.

Intente $d = -3$. Dado el número $$\frac{-11}{2} + \frac{7 \sqrt{-3}}{2},$$ we readily see that the trace (the $2a$) is $-11$ and the norm (the $a^2 - db^2$) is 67. The relevant polynomial is then $x^2 + 11x + 67$.

Ahora intente $d = -5$ y el número de $$\frac{-11}{2} + \frac{7 \sqrt{-5}}{2}.$$ The trace is indeed $-11$ for this number as well, but the norm is... $$\frac{121}{4} + \frac{5 \times 49}{4} = \frac{183}{2},$$ and the polynomial is $2x^2 + 22x + 183$.