Tengo la sensación de que la siguiente afirmación es verdadera (no de cualquier libro o papel, pero parece plausible):
Si $U\neq \emptyset$ es abierto y precompact (es decir, $\overline{U}$ es compacto) en $\mathbb{R}^n$, entonces el límite de $U$ tiene un subconjunto $F\subset \partial U$ homeomórficos a un conjunto abierto de $\mathbb{R}^{n-1}$, o lo que es equivalente a $\mathbb{R}^{n-1}$ sí.
La razón por la que pienso que es verdad es que es muy fácil de muestra para $n=1$, desde el límite de un conjunto abierto se compone de puntos aislados. Y también, si se piensa en el caso general, usted tiene que esto es cierto para abrir bolas en $\mathbb{R}^n$, ya que el límite es homeomórficos a $S^{n-1}$.
Pero me quedo pegado cuando trato de pensar en una manera de resolver este problema para cualquier abierto precompact subconjunto.
Aviso que no estoy tratando de demostrar que $\partial U$ es localmente euclídeo, ya que no es un simple contra-ejemplo en $\mathbb{R}^2$, en donde pueden obtener en forma de X límite para ciertos abrir precompact subconjuntos. Yo sólo quiero mostrar que algún subconjunto de la frontera es localmente euclídeo (en realidad euclidiana como un todo).
Estoy abierto a sugerencias sobre cómo probar/refutar esto.
Muchas gracias a todos!
