Toda la función de orden finito con infinitos ceros.

Question

Deje $f(z)$ ser toda una función de finito de orden del formulario $$f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^{k_n}$$ donde $a_n\neq0$ para todos los $n$ e $(k_n)_{n\geq0}$ es un aumento de la secuencia de enteros de satisfacciones $$\limsup_n\;(k_{n+1}-k_n)=\infty.$$ Mostrar que $f(z)$ tiene una infinidad de ceros.

Sé que si $f(z)$ tiene sólo un número finito de ceros, a continuación, por Hadamard del teorema $f(z)$ es de la forma $P(z)e^{Q(z)}$ para algunos polinomios $P$ e $Q$, por lo que un posible enfoque es mostrar que para tales funciones la condición de $\limsup_n\;(k_{n+1}-k_n)=\infty$ no es posible, pero me di por vencido después de algún tiempo. Otra posible forma puede estar tratando de demostrar que $f(z)$ tiene un no-entero orden, ya que en tal caso se deduce fácilmente que $f(z)$ no puede tener un número finito de ceros. Alguna idea?

Answer 1

Como usted dijo, si $f$ tiene sólo un número finito de ceros, es de la forma $f(z) = P(z) e^{Q(z)}$ con polinomios $P(z) = p_m z^m + \ldots + p_0$ e $Q(z) = q_n z^n + \ldots + q_0$. (Todos los líderes de los coeficientes se supone que ser distinto de cero.) A continuación, $P(z) f'(z) = R(z) f(z)$ con $R(z) = P'(z) + P(z)Q'(z) = r_N z^N + \ldots + r_0$, donde $N=m+n-1 \ge m$. Escrito esta en los coeficientes, se obtiene $$ (p_m z^m + \ldots + p_0) \sum_{j=0}^\infty k_j a_j z^{k_j-1} = (r_N z^N + \ldots + r_0) \sum_{j=0}^\infty a_j z^{k_j} = \sum_{k=0}^\infty b_k z^k $$ Ahora recoger algunas $j$ tal que $k_{j+1} - k_j > N+2$ y considerar el mayor $k \in \{ k_j, k_j +1 , \ldots, k_{j+1}-2\}$ tal que $b_k \ne 0$. La multiplicación de condiciones tenemos $k = m+k_j-1 = N+k_j$, lo que implica que $N = m-1$, contradiciendo $N \ge m$.