Relación entre distancias en espacios homogéneos y sus grupos de Lie.

Question

Considerar la (ronda) esfera de $M=\mathbb{S}^{n-1}$ como homogénea $O(n)$-espacio. A continuación, para $x,y\in\mathbb{S}^{n-1}$ hay $g\in O(n)$ tal que $y=g\cdot x$. Denotar la de Riemann distancia en $\mathbb{S}^{n-1}$ por $d_{\mathbb{S}^{n-1}}$. Intuitivamente, si $y$ e $x$ no están lejos, a continuación, $g$ debería ser casi de la identidad (debido a la $O(n)$-acción es suave). Soy capaz explícitamente construir una rotación $g$ , de modo que \begin{align} \|g-\operatorname{Id_{\mathbb{R}^n}}\| \leq 2\; d_{\mathbb{S}^{n-1}}(y,x) \end{align} donde $\|\cdot\|$ es el operador de la norma para las matrices.

Analoguously, si $M=\mathrm{Gr}_m(\mathbb{R}^n)$ es el Grassmannian, luego por una construcción similar, utilizando el principio de ángulos puedo encontrar una rotación $g$ tal que $F=g\cdot E$ para $m$-planos de $E,F$y \begin{align} \|g-\operatorname{Id_{\mathbb{R}^n}}\| \leq 2m\; d_{\mathrm{Gr}_m(\mathbb{R}^n)}(F,E) \end{align} donde $d_{\mathrm{Gr}_m(\mathbb{R}^n)}$ es el ángulo de la métrica en la $\mathrm{Gr}_m(\mathbb{R}^n)$ (por ejemplo, aquí).

Sin embargo, me parece que estas construcciones bastante insatisfactorio y quisieras saber si hay una forma más abstracta principio subyacente en el juego.

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Aquí está mi pregunta: Dado un conjunto homogéneo $G$espacio $M$, están ahí siempre ($G$-invariante ?) métricas en $M$ e $G$ tal que para todos los $x,y\in M$ hay $g\in G$ tal que $y=g\cdot x$ y que cumple con la estimación cuantitativa \begin{align} d_G(g,e) \leq C \; d_M(y, x) ? \end{align}

Siéntase libre de agregar cualquier hipótesis (como la compacidad, etc) que se aplican a $\mathbb{S}^{n-1}$, $\mathrm{Gr}_m(\mathbb{R}^n)$ e $O(n)$.

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EDIT: Como se proponía en los comentarios por levap y Moishe Kohan, he editado mi pregunta.

Answer 1

Con la versión revisada la respuesta es positiva (con $C=1$), suponiendo que $G$ actúa correctamente en $M$, que en su configuración significa que actúa con compacto de punto-estabilizadores. Esta condición es satisfecha en sus ejemplos desde sus grupos de $G$ son compactos.

Voy a suponer también que $G$ está conectado, aunque con un poco más de trabajo de la prueba de obras en general (reemplace $G$ con la identidad de los componentes en este grupo).

Además, voy a suponer que $M$ es un buen colector y $G$ es una Mentira grupo funciona sin problemas y transitivamente en $M$.

Elegir un punto de $m\in M$ y deje $K$ denotar su $G$-estabilizador $G_m$. Luego de la órbita mapa $$ g\mapsto g\cdot m $$
define un homeomorphism (en realidad, un diffeomorphism) $G/K\to M$. La proyección de $\pi: G\to G/K=M$ es una de las principales $K$-bundle. El grupo $G$ admite una métrica de Riemann que es la izquierda $G$-invariante (esto es cierto independientemente de la compacidad de $K$) y a la derecha $K$-invariante (aquí tenemos la compacidad de $K$). Para obtener una métrica, un promedio de $G$-a la izquierda invariantes de Riemann métrica en $G$ a través del derecho $K$-acción.

Debido a que la métrica es derecho $K$invariante en el que se desciende a una métrica de Riemann en $M=G/K$ , de modo que para cada $g\in G$ el complemento ortogonal $N_g$ a $T_{g}(gK)$ en $T_gG$ mapas isométricamente a $T_mM$ ($m=\pi(g)$) a través del diferencial de la $d\pi_g: T_gG\to T_mM$. En particular, el mapa de $\pi$ es 1-Lipschitz con respecto a estas dos métricas de Riemann en $G$ e $M$. Además, dado que la métrica de $G$ quedó $G$-invariante, la métrica de Riemann en $M$ será también $G$-invariante.

Observe también que el ortogonal complementa $N_g$ definir una conexión de $\nabla$ (en el sentido de Ehresmann) en el paquete de $\pi: G\to M$.

Ahora, definir la función de distancia $d_G$ a la de Riemann función de distancia de la métrica escogida en $G$. (Aquí estoy usando la suposición de que $G$ está conectado.) Igualmente, os $d_M$ denotar la de Riemann función de distancia en $M$. Como hemos señalado anteriormente, el mapa de $\pi$ es 1-Lipschitz. En particular, $$ d_G(g,h)\ge d_M(\pi(g), \pi(h)). $$ Lo que usted desea, sin embargo, es el opuesto de Lipschitz de la desigualdad. Para conseguir esto, hacemos lo siguiente. Elige dos puntos de $x, y\in M$ y a distancia-minimizar geodésica $c$ de $x$ a $y$. (Es un estándar de hecho de que homogénea de Riemann colectores están completas, por lo tanto, $c$ siempre va a existir).

Para cada $g\in \pi^{-1}(x)$, la conexión de $\nabla$ produce una elevación $\tilde{c}$ de $c$, que es una curva suave en $G$ partir de $g$ y terminar en algún $h\in\pi^{-1}(y)$, de tal manera que para cada una de las $t$, el vector de velocidad de la $\tilde{c}'(t)$ pertenece a la horizontal subespacio de $T_{\tilde{c}(t)}G$ dado por la conexión de $\nabla$y $$ \pi\circ \tilde{c}= c. $$ La existencia de un ascensor es el único medianamente no trivial de los ingredientes de la prueba y es un estándar de hecho acerca de Ehresmann conexiones, lo que equivale a corto plazo la existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias con las condiciones iniciales.

En particular, por la construcción de la métrica en la $M$, las normas de $\tilde{c}'(t)$ e ${c}'(t)$ son los mismos. Por lo tanto, la longitud de $\tilde{c}$ es la misma que la longitud de $c$, es decir, es igual a $d(x,y)$.

En particular, $$ d_G(g,h)\le d(x,y). $$ El 1-Lipschitz desigualdad anterior implica la igualdad $$ d_G(g,h)= d_M(x,y) $$ Desde la métrica en la $G$ es $G$-invariantes a la izquierda, obtenemos $$ d_G(g,h)= d_G(h^{-1}g,e). $$ Tomando $f=h^{-1}g$, se obtiene un elemento $f\in G$ tal que $f(x)=y$ y $$d_G(f,e)=d_M(x,y)$$ qed

Por último, la referencia a la teoría de Ehresmann conexiones que me gusta es:

I. Kollar, P. Michor, J. eslovaca, "Natural de los operadores en la geometría diferencial", Springer-Verlag, 1993.