¿Por qué la probabilidad de elegir un primo al azar es 0?

Question

"Es bien sabido que hay infinitos números primos, pero se vuelven raros, incluso cuando se llega a los 100", explica Ono. "De hecho, de los primeros 100.000 números, sólo 9.592 son números primos números primos, es decir, aproximadamente el 9,5%. Y a partir de ahí se vuelven más raros. de ahí. La probabilidad de elegir un número al azar y que sea sea primo es cero. Casi nunca ocurre".

-Fuente: phys.org

Me siento realmente escéptico sobre la afirmación en negrita de arriba. Creo que la probabilidad tiende a acercarse a cero pero nunca puede ser cero. Por favor, explique cómo se calcula matemáticamente la probabilidad.

Answer 1

La frase "La probabilidad de elegir un número al azar y que sea primo es cero" es, matemáticamente hablando, muy chapucera o simplemente errónea (según a quién se le pregunte) y, en mi opinión, es una clara demostración de por qué siempre hay un poco de tensión entre matemáticos y físicos. Nosotros les llamamos chapuceros, ellos nos llaman pelmazos.

La frase correcta sería esta:

Si $p_n$ es la probabilidad de elegir un primo cuando ( uniformemente ) seleccionando un número al azar de $1$ a $n$ entonces $\lim_{n\to\infty} p_n = 0$ .

Esta afirmación se desprende directamente de la teorema del número primo . Ese teorema nos dice que el si $P_n$ es el número de primos menores o iguales a $n$ entonces $$\lim_{n\to\infty}\frac{P_n}{\frac{n}{\log n}} = 1.$$ Claramente, tenemos $p_n=\frac{P_n}{n}$ lo que significa que $$\lim_{n\to\infty} p_n=\lim_{n\to\infty}\frac{P_n}{n} = \lim_{n\to\infty}\left(\frac{P_n}{\frac{n}{\log n}}\cdot\frac{1}{\log n}\right) = \lim_{n\to\infty}\frac{P_n}{\frac{n}{\log n}} \cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\log n} = 1\cdot 0=0$$

Esto también le indica que $p_n\approx \frac{1}{\log n}$ para grandes valores de $n$ , por lo que también se conoce la velocidad a la que $p_n$ converge a $0$ (bastante lentamente, de hecho).

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(*) La afirmación es errónea o descuidada por una sencilla razón: hay muchas cosas que se omiten en la afirmación "elige un número al azar". ¿Cuál es la distribución? ¿Uniforme? No existe una distribución uniforme sobre todos los números enteros. Bien, ¿de qué distribución estamos hablando entonces? Porque seguramente existen distribuciones de probabilidad sobre $\mathbb N$ con un no cero probabilidad de elegir un número al azar. Por ejemplo, elegir un número al azar lanzando un dado de 6 caras tiene una $0.5$ posibilidad de elegir un número primo.

Answer 2

Del teorema de los números primos se puede interpretar que si se elige un número entero al azar de tamaño aproximado n, entonces la probabilidad de que sea primo es de $\frac{1}{\ln n}$ .

Si por un segundo, se relaja la tamaño sobre n la respuesta depende de lo que se entienda por "elegir un número entero al azar".

El problema es que no hay forma de elegir un entero uniformemente al azar, lo que significa precisamente que si cada entero tiene la misma probabilidad de ser elegido entonces esa probabilidad tiene que ser cero, no hay ninguna distribución de probabilidad sobre los enteros positivos que asigne igual peso a cada entero.

Si dejaras que $S\subseteq \mathbb{N}$ sea un conjunto de enteros positivos, y para cada entero positivo $n$ , dejemos que $S_n$ sea el conjunto de todos los $k\in S$ tal que $k\le n$ . Sea $|S_n|$ sea el número de elementos en $S_n$ . Entonces $$\lim_{n\to\infty} \frac{|S_n|}{n},$$ si existe puede verse como una medida de cómo gran $S$ es. La medida para el tamaño de los primos es $0$ .

Answer 3

La probabilidad de elegir un número entero positivo al azar y que sea primo se define como $$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}|\{k : 1\le k\le n\,\,\,\&\,\,\,\text{$ k $ prime}\}| $$ donde $|A|$ es el número de elementos del conjunto $A$ (es decir, su número cardinal).

Teorema de los números primos implica que el límite anterior es igual a cero.

Answer 4

Explicación para profanos . Estás caminando por la línea de números. Si encuentras un nuevo número primo, aumentas la cuenta de primos en sólo 1. Pero puedes multiplicar este nuevo número primo con todos los primos o compuestos encontrados previamente una, dos... o infinitas veces para crear infinitos nuevos compuestos, es decir, encontrar 1 nuevo primo resulta en infinitos nuevos compuestos en algún lugar de la recta numérica, así que si detienes tu caminata al azar en un número, tienes infinitas veces más probabilidades de estar parado en un compuesto que en un primo.

Answer 5

Si $N\in\mathbb N$ entonces, si se elige un número al azar en $\{1,2,\ldots,N\}$ (suponiendo que todos los números tienen la misma probabilidad de ser elegidos), entonces la probabilidad de que ese número sea primo es de $\frac1{\log N}$ (este es el teorema del número primo ). Por lo tanto, el límite como $N$ va al infinito de esa probabilidad es $0$ .