¿Se puede realizar una ordenación arbitraria de las pendientes$\binom{n}{2}$ de las líneas que conectan$n$ puntos en$\mathbb{R}^2$?

Question

Dado $n$ variable de puntos en el plano, $(x_i,y_i)$, vamos a la pendiente de la línea que conecta el punto de $i$ y punto de $j$ ser $m_{ij}$. Si puedo especificar una hoja de pedido de todas estas pistas, $m_{ij}<m_{i'j'}<...<m_{i''j''}$ hacer siempre existen valores de $x_i,y_i$ tal que este orden está satisfecho?

Answer 1

Coloque dos puntos, $A$ e $B$, en el avión. Considerar las posibles ubicaciones de un tercer punto, $C$. La línea de $m_{A, B} = m_{A, C} = m_{B, C}$ es la línea a través de $A$ e $B$. $m_{A, C}$ es discontinuo en la línea a través de $A$ perpendicular al eje de las x, y del mismo modo para $B$. Estas tres líneas dividen el plano en seis áreas, cada una de las cuales tiene un orden diferente para los tres gradientes.

Supongamos que colocamos $C$ tal que $m_{A, B} < m_{A, C} < m_{B, C}$ e $D$ tal que $m_{A, B} < m_{B, D} < m_{A, D}$.

A continuación, nos han obligado a $m_{C, D} > m_{A, B}$. (Si tomamos $m_{A,B}$ negativo en las áreas marcadas permanecen esencialmente sin cambios, sólo los ángulos entre las líneas que cambiar. Si cambiamos de $A$ e $B$ también swap $C$ e $D$).

Por lo tanto, la respuesta a tu pregunta es que algunos ordenamientos son imposibles.

Answer 2

No una respuesta, pero la evidencia de las clases. Le pedí a mi equipo para recoger 1.000.000 de azar cuatrillizos de puntos en el plano, lo que resulta en $6=\binom 4 2 $ pistas cada vez. Cada vez que preguntaba a la computadora para calcular el orden, y para tabular el número de los distintos órdenes visto. Este número podría haber sido tan grande como $6!=720$ , pero mi equipo esta vez sólo vi a $192$ distintos ordenamientos.

Le pedí a mi equipo que me muestre cuántas veces cada uno de los pedidos de vino (para tener una idea de cómo a fondo este procedimiento explorado el espacio de todos los órdenes) y se encontró que la más rara de pedido llegó hasta 3369 veces y el más popular 6619 veces. Yo no dan importancia a los valores exactos de estos cargos, excepto para señalar que es consistente con la existencia de sólo $192$ ordenamientos posible y con mi programa de golpear una y otra vez.

Basado en esto, me imagino que no todos los posibles ordenamientos son posibles. (Pero, por supuesto, podría haber un error informático, lo que me calcular mal el pedido, o mi método de la recolección de puntos al azar, podría hacer que me pierda algunos ordenamientos.)

Answer 3

Tener en cuenta tres puntos de $A,B,C$, donde $x_A<x_B<x_C$. A continuación, $m_{AC}$ es una combinación convexa de $m_{AB}$ e $m_{BC}$, por lo tanto, es entre estos. Llegamos a la conclusión de que un determinado orderring de las pistas que nos permite recuperar la "horizontal" entre la relación de nuestros puntos. En particular, si durante cuatro puntos de $A,B,C,D$, nos imponemos $$ m_{AB}<m_{AC}<m_{BC}<m_{AD}<m_{CD}<m_{BD} $$ entonces $$ m_{AB}<m_{AC}<m_{BC},\qquad m_{AC}<m_{AD}<m_{CD},\qquad m_{BC}< m_{CD}<m_{BD}$$ es decir, (horizontalmente) $B$ entre $A$ e $C$, e $C$ entre $A$ e $D$, e $B$ entre $C$ e $D$ - lo cual es imposible (necesitaríamos $C$ entre $B$ e $D$).

Answer 4

Fijar Una en el origen.

Dando a $m_{A,B}$ consigue una línea a través del origen, donde B puede ocupar cualquiera que sea su posición.
Mismo, dando a $m_{A,C}$, que se fijará otra línea que pasa por el origen que contiene al punto C.

A continuación, el valor de $m_{B,C}$ va a determinar un conjunto de líneas paralelas, no en paralelo a la precedente dos. Por lo que siempre cruzar la precedente, y en el cruce determina B y C, con un grado de libertad restantes.

Presentar el cuarto punto D, a continuación, $m_{B,D}$ e $m_{C,D}$ dar dos conjuntos de líneas, derivados de la posible B, y C de.
Estas líneas no son paralelas entre sí, ni son paralelas a uno ya existente.
Se forman dos conjuntos de líneas paralelas, dependiendo del parámetro que define el conjunto de AC líneas, cruzando a lo largo de una línea que contenga D.
El boceto debe ayudar a averiguar eso.

Ahora la línea adicional $m_{A,D}$ en general (a menos que exactamente paralela a la línea D) la cruz de arriba y revisión D, y por lo tanto también a B y C.

Después de que está claro que cuatro líneas a través de cuatro puntos fijos no va en general a reunirse en un solo punto E.
Sólo dos valores de $m$ puede ser dado, para fijar el punto E: los demás será, en consecuencia, determinar.

Misma para cualquier punto : sólo dos valores de $m$ gratis, los demás son dependientes.