Estoy teniendo problemas para la comprensión de la integridad de la condición de sostén y ket vectores en el espacio de Hilbert, especialmente en el caso continuo. La discreta caso hace una buena cantidad de sentido; dado observables correspondientes a un operador lineal $Q$ con countably muchos de los autovalores, cualquier estado cuántico $| \psi \rangle$ puede ser escrito en la $Q$ eigenbasis como
$$|\psi \rangle = \sum_{n = 1}^{\infty} |e_n \rangle \langle e_n | \psi \rangle$$
...donde $\langle e_n |$ e $| e_n \rangle$ son el sostén y ket correspondiente a la $n^{\text{th}}$ autovalor de a$Q$. Pero decir que $Q$ tiene una cantidad no numerable de vectores propios; decir, $\{ | e_\alpha \rangle \}$ indexados más de un subconjunto $\mathcal{A} \subseteq \mathbb{R}$. Entonces, la ecuación anterior se convierte en
$$| \psi \rangle = \int_\mathcal{A} | e_\alpha \rangle \langle e_\alpha | \psi \rangle \, d\alpha$$
¿Cómo podemos definir una integral sobre ket vectores? Tanto el Lebesgue y de Riemann definiciones de la integral nos obligan a crear "las funciones de prueba" (es decir, las sumas de Riemann o integrar las funciones simples) que está acotado arriba por el integrando, lo que requiere un orden de relación. No veo ninguna razón por qué una orden de relación que debe de existir en el espacio de ket vectores!
La mejor solución que tengo hasta ahora es decir que cada ket vector corresponde a un complejo de valores de función de onda; es decir, se identifican $| e_\alpha \rangle$ con su representación en la posición de base, que es sólo una función de $\mathbb{R} \to \mathbb{C}$. Entonces, la integral anterior es simplemente una integral sobre el complejo de funciones con valores, que estoy muy a gusto con. Pero esto sólo funciona si cada estado cuántico es atravesado por la posición de base, de modo que una representación existe. Por ejemplo, tengo un tiempo difícil creer que los estados de spin $|\uparrow \rangle$ e $| \downarrow \rangle$ son expresables en la posición de base; ¿por qué la posición de codificar la información acerca de giro?
"Introducción a la Mecánica Cuántica" de David Griffiths parece resolver este al declarar que "las funciones propias de un observable se completa: cualquier función (en el espacio de Hilbert) puede ser expresado como una combinación lineal de ellos." Esto sugiere que el aún más incómodo escenario donde el spin autoestados (que son contables) abarcan todos los de la posición de autoestados (que son innumerables), así que tengo una sensación de que algo más está en el trabajo aquí.
¿Tiene usted alguna idea sobre esto?
