¿Cuáles son las definiciones usuales de minimalidad y maximalidad con respecto a una relación arbitraria?

Question

Deje $\mathcal R$ ser una relación en $S$ y deje $T \subseteq S$.

Parece que hay dos nociones que flotan alrededor de un $\mathcal R$-el mínimo elemento de $T$:

1. $x$ $\mathcal R$- el mínimo elemento de $T$ fib $\forall y \in T: (y \mathrel{\mathcal R} x \implies y = x)$
2. $x$ $\mathcal R$- el mínimo elemento de $T$ fib $\forall y \in T: y \not\mathrel{\mathcal R} x$

Cuál de estos es más común? El otro de ir por algún otro nombre?

La primera es compatible con la noción usual de minimality en conjuntos ordenados, pero a las pocas páginas me he encontrado con que mencionar el tema en su mayoría prefieren la segunda.

Answer 1

En mi experiencia (2) es más común cuando se trata con relaciones arbitrarias. Bajo esta definición, reflexiva relación no tendrá ningún mínimo de elementos, así que si usted desea utilizar esta definición para posets usted quiere hablar acerca de $<$con un mínimo de elementos, en vez de $\le$con un mínimo de elementos. (Aquí se utiliza la convención de que las $<$ denota un estricto orden parcial y $\le$ denota el correspondiente débil de orden parcial.)

Las personas que sólo se ocupan de posets y prefieren hablar acerca de $\le$ en lugar de $<$ preferirían la definición (1). Yo llamaría un"$x$, como en (1) "débilmente mínima" o "mínima" y llame a un $x$, como en (2) "mínima", "estrictamente mínima", o "muy de mínimos", pero no sé si esto está de acuerdo con la de los demás de uso.